Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB  sao cho \[SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB.\] Chứng minh rằng \[\overrightarrow {EF}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \].

Ta có \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình lăng trụ nên \(A{A^\prime }{C^\prime }C\) là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}  = \overrightarrow {AC} \).

Do đó \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BC} \).

Tương tự, ta cūng có \(A{A^\prime }{B^\prime }B\) là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {A{A^\prime }}  = \overrightarrow {B{B^\prime }} \).

Do đó \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {A{A^\prime }}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {B{B^\prime }}  = \overrightarrow {B{C^\prime }} \)

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow {CE} \).

b) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có:

\(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {DH}  = \overrightarrow {DF} \)

c) Ta có \(\overrightarrow {CG}  = \overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {AD} \).

Suy ra: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AD} \).

Theo quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG} \).

Vậy \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {AG} \).

d) Vì DCGH là hình bình hành nên \(\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {HD} \).

Tương tự \({\rm{ABGH}}\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {HG} \).

Do đó \(\overrightarrow {HE}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {HE}  + \overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {HG}  = \overrightarrow {HB} \) (theo quy tắc hình hộp).