Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f(x) = \sin \frac{x}{2}\], trục hoành và hai đường thẳng x = 0, \[x = \frac{\pi }{2}\]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45⁰ nên mặt cắt là tam giác vuông cân.

Do đó diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right) = 2 - \frac{1}{2}{x^2}\)

Thể tích vật thể là: \(V = \int_{ - 2}^2 {\left( {2 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}\)

a) Xét tam giác OAB vuông tại A , có \({\rm{AB}} = {\rm{OA}}\). tana = a.tana.

Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy \({\rm{r}} = {\rm{AB}} = {\rm{a}}\).tana và chiều cao \({\rm{h}} = {\rm{OA}} = {\rm{a}}\).

Do đó \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \)

b) Có \({V^\prime } = \frac{1}{3}\pi {a^3} \cdot 2\tan \alpha  \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Vi \(0 < \alpha  \le \frac{\pi }{4} =  > 0 < \) tan \(\alpha  \le 1\) nên \({V^\prime } > 0\). Do đó \(V\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}\)

Vậy \(\alpha  = \frac{\pi }{4}\) thì thể tích khối nón là lớn nhất.