Cho tam giác OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và \[\widehat {AOB} = \alpha {\rm{ }}\left( {0 < \alpha  \le \frac{\pi }{4}} \right)\]. Gọi (B) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh Ox như hình vẽ

a) Tính thể tích V của (B) theo a và \[\alpha \].

b) Tìm \[\alpha \] sao cho thể tích V lớn nhất.

Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \[\left( { - 2 \le x \le 2} \right)\], mặt cắt là tam giác vuông có một góc ${45}^{\circ }$ và độ dài một cạnh góc vuông là \[\sqrt {4 - {x^2}} \] (dm) như hình vẽ. Tính thể tích của vật thể.

   Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f(x) = \sin \frac{x}{2}\], trục hoành và hai đường thẳng x = 0, \[x = \frac{\pi }{2}\]. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \cos x} ,\) trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi \(D\) quay quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\) và các đường thẳng \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 4\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quay quanh trục \(Ox\).

 Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \sqrt {4 - x} \] \[\left( {x \le 4} \right)\], trục tung và trục hoành như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi xoay D quanh trục Ox.