Ở một sân bay, ví trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình vẽ bên dưới. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy).

Cho biết OM = 50, \[\left( {\overrightarrow i {\rm{, }}\overrightarrow {OH} } \right) = {64^ \circ },\left( {\overrightarrow {OH} {\rm{, }}\overrightarrow {OM} } \right) = {48^ \circ }\]. Tìm toạ độ của điểm M.

Giả sử \({\rm{M}}({\rm{x}};{\rm{y}};{\rm{z}})\).

\({\rm{H}} \in ({\rm{Oxy}}) \Rightarrow {\rm{H}}({\rm{x}};{\rm{y}};0){\rm{. }}\)

Vì OBHA là hình bình hành nên \({\rm{BH}} = {\rm{OA}}\).

Vì \({\rm{OCMH}}\) là hình bình hành nên \({\rm{OC}} = {\rm{MH}}\).

Xét $△\text{MHO}$ vuông tại \({\rm{H}}\), có $\text{OH}=\text{OM}\cdot \cos {48}^{°}=50\cdot \cos {48}^{°}\approx \mathrm{33,46}$.

$\text{MH}=\text{OM}\cdot \sin {48}^{°}=50\cdot \sin {48}^{°}\approx \mathrm{37,16.}$

Xét $△\text{OAH}$ vuông tại \({\rm{A}}\), có $\text{BH}=\text{OA}=\text{OH}\cdot \cos {64}^{°}=\mathrm{33,46}\cdot \cos {64}^{°}\approx \mathrm{14,67}$

Xét$△\text{OAH}$ vuông tại B, có \(OB = \sqrt {O{H^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{33,46}^2} - {{14,67}^2}}  \approx 30,07\).

Vì \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec i\) cùng hướng và \({\rm{OA}} = 14,67\) nên \(\overrightarrow {OA}  = 14,67\vec i\).

Vì \(\overrightarrow {OB} \) và \(\vec j\) cùng hướng và \({\rm{OB}} = 30,07\) nên \(\overrightarrow {OB}  = 30,07\vec j\).

Vì \(\overrightarrow {OC} \) và \(\vec k\) cùng hướng và \(OC = 37,16\) nên \(\overrightarrow {OC}  = 37,16\vec k\).

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 14,67\vec i + 30,07\vec j + 27,16\vec k\)

Vậy \({\rm{M}}(14,67;30,07;27,16)\).