Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm M(90 ; 0 ; 30), N(90 ; 120 ; 30), P(0 ; 120 ; 30), Q(0 ; 0 ; 30) (Hình 34). Giả sử K, là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và KoM=KoN= KoP=KoQ. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K1 cao độ bằng 19 (Nguồn: https://www.abiturloesung.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI). Tìm toạ độ của các điểm Ko, K1 và của vectơ \[\overrightarrow {{K_o}{K_1}} \].

Gọi \({{\rm{M}}_1},\;{{\rm{N}}_1},{{\rm{P}}_1},\;{\rm{K}}\) lān lượt lä hình chiêu của \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}},{{\rm{K}}_0}\) lên mặt phăng (Oxy).

Ta thấy \(MNPQ{M_1}{N_1}{P_1}{\rm{O}}\) là hình hộp chữ nhật.

Gọi \({\rm{K'}}\)là giao hai dường chéo MP và NQ. Khi đó \(KQ = KP = KN = KM\).

\({V_1}{K_0}{\rm{M}} = {{\rm{K}}_0}\;{\rm{N}} = {{\rm{K}}_0}{\rm{P}} = {{\rm{K}}_0}{\rm{Q}}\) và camera được hạ thấp theo phương thẳng dứng từ diếm xuống điểm \({{\rm{K}}_1}\) nên các điếm \({{\rm{K}}^\prime }{{\rm{K}}_0},\;{{\rm{K}}_1},\;{\rm{K}}\) thẳng hàng.

Khi đó, các điểm \({{\rm{K}}^\prime },{\rm{Ko}},{\rm{K}}1,\;{\rm{K}}\) có hoành độ và tung độ bằng nhau.

Theo bài ra, cao độ của \({K_0}\) và \({K_1}\) lần lượt là 25 và 19 .

Giả sử \({K_0}(x;y;25)\) và \({K_1}(x;y;19)\).

Ta có \(MNPQ \cdot {M_1}{N_1}{P_1}O\) là hình hộp chữ nhật nên \(KK = OQ\), suy ra cao độ của \({K^\prime }\) bẳng 30. Do đó, \({K^\prime }(x;y;30)\).

Ta có \(\overrightarrow {{K^\prime }Q}  = ( - x; - y;0),\overrightarrow {N{K^\prime }}  = (x - 90;y - 120;0)\).

V1 K'là giao hai dường chéo của hình chữ nhật MMPQ nên K'là trung điếm của NQ.

Suy ra \(\overline {{K^\prime }Q}  = \overrightarrow {NK}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x = x - 90}\\{ - y = y - 120}\\{0 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 45}\\{y = 60}\end{array}} \right.} \right.\).

Do vậy, \({K_0}(45;60;25),{K_1}(45;60;19)\) và \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}}  = (0;0; - 6)\).