Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng\[R\]. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \[{30^0}\] ta thu được hai khối gỗ có thể tích là \[{V_1}\] và \[{V_2}\], với \[{V_1} < {V_2}\]. Thể tích \[{V_1}\] bằng?
Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng\[R\]. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \[{30^0}\] ta thu được hai khối gỗ có thể tích là \[{V_1}\] và \[{V_2}\], với \[{V_1} < {V_2}\]. Thể tích \[{V_1}\] bằng?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn A
Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích \[{V_1}\] như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ.
Nửa đường tròn đường kính \[AB\] có phương trình là \[y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \],\[x \in \left[ { - R;R} \right]\].
Một mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm \[M\] có hoành độ \[x\], cắt hình nêm theo thiết diện là \[\Delta MNP\] vuông tại \[N\] và có \[\widehat {PMN} = {30^0}\].
Ta có \[NM = y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \Rightarrow NP = MN.\tan {30^0} = \frac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{\sqrt 3 }}\].
\[\Delta MNP\] có diện tích \[S\left( x \right) = \frac{1}{2}NM.NP = \frac{1}{2}.\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}\].
Thể tích hình nêm là \[{V_1} = \int\limits_{ - R}^R {S\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int\limits_{ - R}^R {\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}} {\rm{d}}x\]\[ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left. {\left( {{R^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - R}^R = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].
* Chú ý: Có thể ghi nhớ công thức tính thể tích hình nêm:
\[{V_1} = \frac{2}{3}{R^2}h = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha \], trong đó \[R = \frac{{AB}}{2}\], \[\alpha = \widehat {PMN}\].
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ.
Gọi \[\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + {b_1}\] là Parabol đi qua hai điểm \[A\left( {\frac{{19}}{2};0} \right),B\left( {0;2} \right)\]
Nên ta có hệ phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)^2} + 2\\2 = b\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = - \frac{8}{{361}}\\{b_1} = 2\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left( {{P_1}} \right):y = - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2\].
Gọi \[\left( {{P_2}} \right):y = {a_2}{x^2} + {b_2}\] là Parabol đi qua hai điểm \[C\left( {10;0} \right),D\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\]
Nên ta có hệ phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_2}.{\left( {10} \right)^2} + \frac{5}{2}\\\frac{5}{2} = {b_2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = - \frac{1}{{40}}\\{b_2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left( {{P_2}} \right):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}\].
Ta có thể tích của bê tông là: \[V = 5.2\left[ {\int_0^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right)} {\rm{d}}x - \int_0^{\frac{{19}}{2}} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)} {\rm{d}}x} \right] = 40\,{{\rm{m}}^3}\].
Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: \[5.40 = 200\] triệu đồng
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng \(10cm = 1dm\)), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\), \(y = - \frac{{{x^2}}}{2}\),\(x = - \frac{{{y^2}}}{2}\),\(x = \frac{{{y^2}}}{2}\).
Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\(y = \frac{{{x^2}}}{2}\),\(y = \sqrt {2x} \) và hai đường thẳng \(x = 0;x = 2\).
Do đó diện tích một cánh hoa bằng
\(\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {2x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right){\rm{d}}x} \) \[ = \left. {\left. {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\sqrt {{{\left( {2x} \right)}^3}} - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|} \right|_0^2\]\[ = \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]\[ = \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
![Cho một mô hình [3D] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid13-1753788326.png)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo