Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm \[2015\]. Nền sân là một elip \(\left( E \right)\) có trục lớn dài \[150m\], trục bé dài \[90m\] (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của \(\left( E \right)\)và cắt elip ở \(M,N\) (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm \(I\) (phần tô đậm trong hình 4) với \(MN\) là một dây cung và góc \(\widehat {MIN} = {90^0}.\) Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?
Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm \[2015\]. Nền sân là một elip \(\left( E \right)\) có trục lớn dài \[150m\], trục bé dài \[90m\] (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của \(\left( E \right)\)và cắt elip ở \(M,N\) (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm \(I\) (phần tô đậm trong hình 4) với \(MN\) là một dây cung và góc \(\widehat {MIN} = {90^0}.\) Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?
A. \(57793{m^3}\).
B. \(115586{m^3}\).
C. \(32162{m^3}\).
D. \(101793{m^3}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn B
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta cần tìm diện tích của \(S\left( x \right)\)thiết diện.
Gọi \(d\left( {O,MN} \right) = x\)
\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.\)
Lúc đó \[MN = 2y = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)} = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \]
\[ \Rightarrow R = \frac{{MN}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \Rightarrow {R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\]
\[S\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{4}\pi - \frac{1}{2}} \right){R^2} = \left( {\pi - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).\]
Thể tích khoảng không cần tìm là
\(V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {\pi - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right) \approx 115586{m^3}.} \)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(110\) triệu đồng.
B. \(250\) triệu đồng.
C. \(180\) triệu đồng.
D. \(200\) triệu đồng.
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ.
Gọi \[\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + {b_1}\] là Parabol đi qua hai điểm \[A\left( {\frac{{19}}{2};0} \right),B\left( {0;2} \right)\]
Nên ta có hệ phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)^2} + 2\\2 = b\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = - \frac{8}{{361}}\\{b_1} = 2\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left( {{P_1}} \right):y = - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2\].
Gọi \[\left( {{P_2}} \right):y = {a_2}{x^2} + {b_2}\] là Parabol đi qua hai điểm \[C\left( {10;0} \right),D\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\]
Nên ta có hệ phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_2}.{\left( {10} \right)^2} + \frac{5}{2}\\\frac{5}{2} = {b_2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = - \frac{1}{{40}}\\{b_2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left( {{P_2}} \right):y = - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}\].
Ta có thể tích của bê tông là: \[V = 5.2\left[ {\int_0^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right)} {\rm{d}}x - \int_0^{\frac{{19}}{2}} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)} {\rm{d}}x} \right] = 40\,{{\rm{m}}^3}\].
Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: \[5.40 = 200\] triệu đồng
Câu 2
A. \[11445000\] đồng.
B. \[4077000\] đồng.
C. \[7368000\] đồng.
D. \[11370000\] đồng.
Lời giải
Chọn A
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \(AB\) trùng \[Ox\], \(A\) trùng \[O\] khi đó parabol có đỉnh \[G\left( {2;4} \right)\] và đi qua gốc tọa độ.
Giả sử phương trình của parabol có dạng \[y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\].
Vì parabol có đỉnh là \[G\left( {2\,;4} \right)\] và đi qua điểm \[O\left( {0\,;0} \right)\] nên ta có \[\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 4\end{array} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = 0\end{array} \right.\].
Suy ra phương trình parabol là \[y = f(x) = - {x^2} + 4x\].
Diện tích của cả cổng là \[S = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right){\rm{d}}x = } \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32}}{3}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].
Mặt khác chiều cao \[CF = DE = f\left( {0,9} \right) = 2,79({\rm{m}})\]; \[CD = 4 - 2.0,9 = 2,2\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Diện tích hai cánh cổng là \[{S_{CDEF}} = CD.CF = 6,138\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].
Diện tích phần xiên hoa là \[{S_{xh}} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 6,14 = \frac{{6793}}{{1500}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].
Vậy tổng số tiền để làm cổng là \[6,138.1200000 + \frac{{6793}}{{1500}}\,.900000 = 11441400\] đồng.
Câu 3
A.105660667đ
B.1066666667đ
C.107665667đ
D.108665667đ
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[{V_1} = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].
B. \[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{27}}\].
C. \[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{18}}\].
D. \[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(240\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
B. \(240\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
C. \(120\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
D. \(120\pi \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[2553333\] đồng.
B. \[2333333\] đồng.
C. \[2780333\] đồng.
D. \[2123333\] đồng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập