Câu hỏi:

29/07/2025 10 Lưu

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 3}\end{array}} \right.\).

a) \(f\left( 0 \right) = 2\).

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;3} \right]\).

c) Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).

d) Tổng các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là \( - \frac{7}{4}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

a) Sai. Vì \( - 1 < 0 < 3\) nên \(f\left( 0 \right) = {0^2} = 0\).

b) Đúng. Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ { - 1;3} \right] = \left( { - \infty ;3} \right]\).

c) Sai. Trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\), \(f\left( x \right) = x + 2\). Do đó, hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

Trên \(\left[ { - 1;0} \right)\), \(f\left( x \right) = {x^2}\). Do đó, hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;0} \right)\).

d) Đúng. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( 1 \right)\).

Với \(x < - 1\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(x + 2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = - \frac{7}{4}\).

Với \( - 1 \le x \le 3\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({x^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Do đó, tổng các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là \( - \frac{7}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{7}{4}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 4}}\) xác định khi \(x - 4 \ne 0\) tức là \(x \ne 4\) nên tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).

Lấy \({x_1},\,{x_2}\) là hai số tùy ý cùng thuộc mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;\,4} \right),\,\left( {4;\, + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\) ta có

\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1} - 4}} - \frac{1}{{{x_2} - 4}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{\left( {{x_1} - 4} \right)\left( {{x_2} - 4} \right)}}\).

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\).</>

Mặt khác, khi lấy \({x_1}\) và \({x_2}\) cùng nhỏ hơn 4 hoặc cùng lớn hơn 4 , ta đều có \({x_1} - 4\) và \({x_2} - 4\) luôn cùng dấu nên \(\left( {{x_1} - 4} \right)\left( {{x_2} - 4} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

Ta kết luận hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Vậy \({a_0} = 4\) và \(a_0^2 + 2024 = 16 + 2024 = 2040\).

Đáp án: \(2040\).

Câu 2

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \[{S_{EFGH}}\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow \]\[S = {S_{AEH}} + {S_{FCG}} + {S_{GDH}}\] lớn nhất.

Ta có \[2S = 2x + 3y + (6 - x)(6 - y) = xy - 4x - 3y + 36\] (1).

Mặt khác: \[\Delta AEH\] đồng dạng \[\Delta CGF\]nên \[\frac{{AE}}{{CG}} = \frac{{AH}}{{CF}}\] \[ \Rightarrow \] \[xy = 6\] (2).

Từ (1) và (2) suy ra \[2S = 42 - \left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right)\].

Ta có: \[2{S_{max}}\]\[ \Leftrightarrow \] \[{\left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right)_{min}}\]

Biểu thức \[{\left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right)_{min}}\] \[ \Leftrightarrow \] \[4x = \frac{{18}}{x}\] \[ \Rightarrow \] \[x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] \[ \Rightarrow \] \[y = 2\sqrt 2 \].

Vậy \[x + y = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\].