Biết rằng tồn tại \(a \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(y = \frac{1}{{x - 4}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Gọi \({a_0}\) là giá trị nhỏ nhất của \(a\). Tính \(a_0^2 + 2024\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \).

a) Hàm số có tập xác định là \(D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).

b) Điểm \(M\left( {0;1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

c) \(f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) = 5\).

d) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > 2}\\{c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = 2}\\{1 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 2}\end{array}} \right.\).

a) \(f\left( 0 \right) = 1\).

b) Hàm số có tập xác định là \(D = \left[ {{\rm{1; + }}\infty } \right)\).

c) Biết \(f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right) = 1\), khi đó \(c = 1\).

d) Với \(t = x + 1\) thì với \(t < 3,f\left( t \right) = - {t^2} + 2t\).

Cho hàm số \(y = 2x + m - 1\) (\(m\) là tham số thực) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\) tại hai điểm \(A,B\) thỏa mãn \({S_{\Delta OAB}} = 4\), tính tổng tất các giá trị của tham số \(m\).

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng \(x + y\) để diện tích hình thang\[EFGH\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Một nhân viên bán hàng sẽ nhận được một mức lương cơ bản là 6 triệu đồng mỗi tháng và một khoản hoa hồng là \(5\% \) nếu tổng doanh số trên 10 triệu đồng trong tháng. Ngoài ra, nếu doanh số bán hàng hàng tháng là 20 triệu đồng hoặc nhiều hơn thì nhân viên bán hàng nhận được thêm tiền thưởng là 600 nghìn đồng. Hỏi nhân viên đó sẽ nhận được bao nhiêu tiền lương nếu doanh số trong 1 tháng của nhân viên đó là 45 triệu đồng?

Cho biểu đồ ước tính dân số Việt Nam qua một số thập niên như sau:

Nếu coi \(x\) là năm và \(y\) là số dân Việt Nam thì \(x\) là biến số và \(y\) là hàm số của \(x\).

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \left\{ {1979;1989;1999;2009;2019} \right\}\).

b) Tập giá trị của hàm số là \(T = \left\{ {10;20;...;100} \right\}\).

c) Hàm số đồng biến trên tập xác định.

d) Trong khoảng thời gian từ 1989 đến 1999 dân số Việt Nam tăng nhanh nhất.