Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - ax + b\) có bảng xét dấu như hình vẽ:

a) \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\).

b) \(a + b = 7\).

c) \(f\left( 4 \right) = 3\).

d) Bảng xét dấu của đa thức \(g\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)f\left( x \right)\) như sau:

Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao \(y\) (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian \(t\) (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là \(21\;\,{\rm{m}}\) và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm \(t\) lớn nhất là bao nhiêu (\(t\) nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên \(10\;{\rm{m}}\) so với mặt đất?

Một công ty Du lịch sinh thái thông báo giá tiền khi tham gia chuyến tham quan của một nhóm khách du lịch được cho như sau:

Gọi x là số lượng khách từ người thứ 21 trở đi của nhóm.

a) Số khách tham quan chuyến du lịch trên là \(20 - x\).

b) Giá vé của mỗi người là \(30 - x\).

c) Doanh thu của công ty được tính bởi công thức \( - {x^2} + 10x + 600\).

d) Biết chi phí của chuyến tham quan mà công ty phải chịu là 400 USD. Khi đó, nếu số khách từ người thứ 21 trở lên của nhóm nhiều hơn 20 người thì công ty có lãi.

Một khung dây thép hình chữ nhật với chiều dài \(30\;{\rm{cm}}\) và chiều rộng \(20\;{\rm{cm}}\) được uốn lại thành hình chữ nhật mới với kích thước \(\left( {30 - x} \right)\)\({\rm{cm}}\) và \(\left( {20 + x} \right)\,\,{\rm{cm}}\), khi đó với \(x\) nằm trong khoảng \(\left( {a;\,b} \right)\) thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên. Tính giá trị biểu thức \(a + b\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\) không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Cho \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 4\).

a) Nếu \(m = 1\) thì \(f\left( x \right)\) không phải là tam thức bậc hai.

b) Khi \(m = 3\) thì bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) có tập nghiệm chứa hữu hạn giá trị nguyên.

c) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm trái dấu với \(\forall m \in \left( {a;b} \right)\). Khi đó \(a + b = 0\).

d) \(f\left( x \right)\) nhận giá trị không dương trên khoảng \(\left[ {a;\,b} \right]\) có \(b - a = 5\) khi m > 1.