Một quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,5\) mét so với mặt đất. Biết quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol có phương trình \(h\left( t \right) = - 0,5{t^2} + 2,75t + 1,5\) trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng.

a) Quả bóng chạm mặt đất khi \(t = 5\) giây.

b) Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi \(t = 2,75\) giây.

c) Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong khoảng thời gian \(0 < t < 6\).

d) Quả bóng có độ cao lớn hơn \(1,5\) mét so với mặt đất trong thời gian là \(5\) giây.

Một chú thỏ đen chạy đuổi theo một chú thỏ trắng ở vị trí cách nó \(100\;{\rm{m}}\). Biết rằng, quãng đường chú thỏ đen chạy được biểu thị bởi công thức \(s\left( t \right) = 8t + 5{t^2}\) \({\rm{(m)}}\), trong đó \(t\) (giây) là thời gian tính từ thời điểm chú thỏ đen bắt đầu chạy, và chú thỏ trắng chạy với vận tốc không đổi là \(3\;\,{\rm{m/s}}\). Khi đó, tại thời điểm \(t \in \left( {a;\, + \infty } \right)\) thì chú thỏ đen chạy trước chú thỏ trắng. Hãy xác định giá trị của \(a\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2024x + 2025}}{{\sqrt {m{x^2} + 2mx + 9} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Mỗi ngày nếu giá bán rau là 30 000 đồng/1kg thì bán hết rau, nếu giá bán rau tăng 1 000 đồng/kg thì số rau thừa ra 20 kg. Số rau thừa này được mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá 2 000 đồng/kg. Gọi \(x\) (\(x > 0\)) (nghìn đồng) là số tiền tăng lên cho mỗi ki-lô-gam rau.

a) Giá tiền bán mỗi ki-lô-gam rau sau khi tăng giá là \(x + 30\) (nghìn đồng).

b) Tổng số ki-lô-gam rau bán được khi tăng giá bán \(x\) nghìn đồng cho mỗi ki-lô-gam rau là \(1000 - 30x\) (kg).

c) Tổng số tiền thu được khi bán rau với giá tăng lên \(x\) nghìn đồng cho mỗi ki-lô-gam rau là \(T = - 20{x^2} + 440x + 30000\) (nghìn đồng).

d) Để tổng số tiền thu được khi bán rau với giá tăng lên \(x\) nghìn đồng cho mỗi ki-lô-gam rau không nhỏ hơn 31 140 (nghìn đồng) thì \(x \in \left[ {3\,;\,19} \right]\).

Cho hàm số \(y = {x^2} + 4x - 5\).

a) \(y \ge 0\) khi \(x \in \left[ { - 5;1} \right]\).

b) \(y \le 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).

c) Với \(m = \frac{5}{2}\) thì đường thẳng \(d:y = 4x - m\) cắt đồ thị \(\left( P \right)\): \(y = {x^2} + 4x - 5\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + 4x - 5\) bằng\( - 9\).

Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi là 96 cm. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh là 4 cm.

a) Diện tích phần cắt đi là \[4 \cdot {4^2}\] \[\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

b) Gọi chiều dài của tấm sắt là \[x\] (cm) thì chiều rộng tấm sắt là \[96 - x\] (cm).

c) Diện tích phần còn lại của tấm sắt là \[ - {x^2} + 48x - 64\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

d) Diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 448 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) khi và chỉ khi chiều dài của tấm sắt nằm trong đoạn \[\left[ {16;32} \right]\] (cm).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ {0;\,30} \right]\) để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm?