Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(N(4;0;1)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;2;1),\vec b = (2;1;3)\).

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;3),B(4;3;5)\), \(C(2;3;2),{A^\prime }(1;1;1)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(2;1; - 1),B(3;2;1),C(3;1;4)\).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm \(t\), vật thể ở vị trí \(M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)\). Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Xác định toạ độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).

b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).

c) Vị trí \(M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) với a, b, c đều khác 0 . Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm A, B, C.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)\).

a) Tìm tọa độ các điểm \(C,{B^\prime },{D^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)\).

Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;2;1)\).