Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm $t$, vật thể ở vị trí $M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)$. Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Xác định toạ độ của vị trí ${M_1},{M_2},{M_3}$ của vật tương ứng với các thời điểm $t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi $.

b) Chứng minh rằng ${M_1},{M_2},{M_3}$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$.

c) Vị trí $M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)$ có luôn thuộc mặt phẳng $\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)$ hay không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 21 bài tập Viết phương trình mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Thời điểm ${\rm{t}} = 0$, vật ở vị trí ${{\rm{M}}_1}(1;1;1)$.

Thời điểm $t = \frac{\pi }{2}$, vật ở vị trí ${{\rm{M}}_2}( - 1;1;0)$.

Thời điểm ${\rm{t}} = \pi $, vật ở vị trí ${{\rm{M}}_3}( - 1; - 1; - 1)$.

b) Có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 2;0; - 1)$ và $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = ( - 2; - 2; - 2)$ không cùng phương nên ba điểm ${{\rm{M}}_1},{{\rm{M}}_2},{{\rm{M}}_3}$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng $\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)$ có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 2;0; - 1)$ và $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = ( - 2; - 2; - 2)$ là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến: $\vec n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = ( - 2; - 2;4)$

Mặt phẳng $\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)$ đi qua ${{\rm{M}}_1}(1;1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = ( - 2; - 2;4)$ có phương trình là: $ - 2(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 1) = 0$ hay $2x + $ $2{\rm{y}} - 4{\rm{z}} = 0$.

c) Ta có 2(cost $ - \sin t) + 2$ (cost + sint $) - 4$ cost $ = 0$ nên vị trí $M(\cos t - \sin t$; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng $\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)$.

Do đó vị trí $M$ (cost - sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng $2x + 2y - 4z = $ 0.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ $ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ với $A(1;2;3),B(4;3;5)$, $C(2;3;2),{A^\prime }(1;1;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

Mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)$ nhận $\overrightarrow {AB} = (3;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;1; - 1)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 3;5;2){\rm{. }}$

Mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)$ đi qua ${A^\prime }(1;1;1)$ và nhận $\vec n = ( - 3;5;2)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$ - 3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 4 = 0.$

Câu 2

Cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình tổng quát là

$(P) : 3 x - 5 y + 7 z + 5 = 0 (m) v à (Q) : x + y - 2 = 0 (m)$

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng $(P),(Q)$.

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ trong số các điểm: $A(1;3;1),B(1;2;3)$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3; - 5;7)$. $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n^\prime } = (1;1;0)$.

b) Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình của $(P)$, ta được:$3.1 - 5.3 + 7.1 + 5 = 0.{\rm{ }}$Vậy $A$ thuộc $(P)$.

Thay toạ độ điểm $B$ vào phương trình $(P)$, ta được:$3.1 - 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \ne 0.$Vậy $B$ không thuộc $(P)$.

Câu 3