Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)\).

a) Tìm tọa độ các điểm \(C,{B^\prime },{D^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

a) Ta có \(\overrightarrow {AD}  = (1;0; - 2),\overrightarrow {A{A^\prime }}  = ( - 1;2; - 1),\overrightarrow {AB}  = ( - 1;3;1)\)

Vi ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1}\\{{y_C} - 2 = 0}\\{{z_C} - 4 =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1}\\{{y_C} = 2}\\{{z_C} = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy C(1; 2; 2).

Vi ABB'A' là hình binh hành nên \(\overrightarrow {A{A^\prime }}  = \overrightarrow {B{B^\prime }}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} =  - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} - 2 = 2}\\{{z_{{C^\prime }}} - 4 =  - 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} =  - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} = 4}\\{{z_{{C^\prime }}} = 3}\end{array}} \right.\). Vậy \({B^\prime }( - 1;4;3)\).

Vi ADD'A' là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} - 1 = 0}\\{{z_{{D^\prime }}} - 2 =  - 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} = 1}\\{{z_{{D^\prime }}} = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \({D^\prime }(1;1;0)\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {C{B^\prime }}  = ( - 2;2;1),\overrightarrow {C{D^\prime }}  = (0; - 1; - 2)\)

Vi mặt phẳng (CB' \(\left. {{D^\prime }} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} \) nên có một vectơ pháp tuyến là:

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = ( - 3; - 4;2){\rm{. }}\)

Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm \({\rm{C}}(1;2;2)\) và nhận \(\vec n = ( - 3; - 4;2)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \( - 3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0.{\rm{ }}\)