Câu hỏi:

19/08/2025 55 Lưu

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)\).

a) Tìm tọa độ các điểm \(C,{B^\prime },{D^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'.B'.C'D', với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),A'(0;1;2). (ảnh 1)

a) Ta có \(\overrightarrow {AD}  = (1;0; - 2),\overrightarrow {A{A^\prime }}  = ( - 1;2; - 1),\overrightarrow {AB}  = ( - 1;3;1)\)

Vi ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1}\\{{y_C} - 2 = 0}\\{{z_C} - 4 =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1}\\{{y_C} = 2}\\{{z_C} = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy C(1; 2; 2).

Vi ABB'A' là hình binh hành nên \(\overrightarrow {A{A^\prime }}  = \overrightarrow {B{B^\prime }}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} =  - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} - 2 = 2}\\{{z_{{C^\prime }}} - 4 =  - 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} =  - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} = 4}\\{{z_{{C^\prime }}} = 3}\end{array}} \right.\). Vậy \({B^\prime }( - 1;4;3)\).

Vi ADD'A' là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} - 1 = 0}\\{{z_{{D^\prime }}} - 2 =  - 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} = 1}\\{{z_{{D^\prime }}} = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \({D^\prime }(1;1;0)\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {C{B^\prime }}  = ( - 2;2;1),\overrightarrow {C{D^\prime }}  = (0; - 1; - 2)\)

 

Vi mặt phẳng (CB' \(\left. {{D^\prime }} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} \) nên có một vectơ pháp tuyến là:

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = ( - 3; - 4;2){\rm{. }}\)

Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm \({\rm{C}}(1;2;2)\) và nhận \(\vec n = ( - 3; - 4;2)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \( - 3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0.{\rm{ }}\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = (3;1;2),\overrightarrow {AC}  = (1;1; - 1)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 3;5;2){\rm{. }}\)

Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\) đi qua \({A^\prime }(1;1;1)\) và nhận \(\vec n = ( - 3;5;2)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

\( - 3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 4 = 0.\)

Lời giải

a) Thời điểm \({\rm{t}} = 0\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\).

Thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_2}( - 1;1;0)\).

Thời điểm \({\rm{t}} = \pi \), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_3}( - 1; - 1; - 1)\).

b) Có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}}  = ( - 2; - 2; - 2)\) không cùng phương nên ba điểm \({{\rm{M}}_1},{{\rm{M}}_2},{{\rm{M}}_3}\) không thẳng hàng.

Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}}  = ( - 2; - 2; - 2)\) là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến: \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = ( - 2; - 2;4)\)

Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) đi qua \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 2; - 2;4)\) có phương trình là: \( - 2(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 1) = 0\) hay \(2x + \) \(2{\rm{y}} - 4{\rm{z}} = 0\).

c) Ta có 2(cost \( - \sin t) + 2\) (cost + sint \() - 4\) cost \( = 0\) nên vị trí \(M(\cos t - \sin t\); cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\).

Do đó vị trí \(M\) (cost - sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(2x + 2y - 4z = \) 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP