Cho hai mặt phẳng \((P),(Q)\) có phương trình tổng quát là

$\left(P\right):3x-5y+7z+5=0\left(m\right) và \left(Q\right):x+y-2=0\left(m\right)$

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \((P),(Q)\).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \((P)\) trong số các điểm: \(A(1;3;1),B(1;2;3)\).

Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = (3;1;2),\overrightarrow {AC}  = (1;1; - 1)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 3;5;2){\rm{. }}\)

Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\) đi qua \({A^\prime }(1;1;1)\) và nhận \(\vec n = ( - 3;5;2)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

\( - 3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 4 = 0.\)

a) Thời điểm \({\rm{t}} = 0\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\).

Thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_2}( - 1;1;0)\).

Thời điểm \({\rm{t}} = \pi \), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_3}( - 1; - 1; - 1)\).

b) Có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}}  = ( - 2; - 2; - 2)\) không cùng phương nên ba điểm \({{\rm{M}}_1},{{\rm{M}}_2},{{\rm{M}}_3}\) không thẳng hàng.

Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}}  = ( - 2; - 2; - 2)\) là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến: \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = ( - 2; - 2;4)\)

Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) đi qua \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 2; - 2;4)\) có phương trình là: \( - 2(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 1) = 0\) hay \(2x + \) \(2{\rm{y}} - 4{\rm{z}} = 0\).

c) Ta có 2(cost \( - \sin t) + 2\) (cost + sint \() - 4\) cost \( = 0\) nên vị trí \(M(\cos t - \sin t\); cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\).

Do đó vị trí \(M\) (cost - sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(2x + 2y - 4z = \) 0.