Bài tập Viết phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/21

Cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình tổng quát là

$(P) : 3 x - 5 y + 7 z + 5 = 0 (m) v à (Q) : x + y - 2 = 0 (m)$

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng $(P),(Q)$.

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ trong số các điểm: $A(1;3;1),B(1;2;3)$.

Lời giải

a) Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3; - 5;7)$. $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n^\prime } = (1;1;0)$.

b) Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình của $(P)$, ta được:$3.1 - 5.3 + 7.1 + 5 = 0.{\rm{ }}$Vậy $A$ thuộc $(P)$.

Thay toạ độ điểm $B$ vào phương trình $(P)$, ta được:$3.1 - 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \ne 0.$Vậy $B$ không thuộc $(P)$.

Câu 2/21

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;2;1)$.

Lời giải

Vì $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;2;1)$ nên phương trình của $(P)$ là

$1(x - 1) + 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + z - 8 = 0.$

Câu 3/21

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $N(4;0;1)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\vec a = (1;2;1),\vec b = (2;1;3)$.

Lời giải

$(P)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\vec a = (1;2;1),\vec b = (2;1;3)$, suy ra $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\vec a,\vec b] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)$.

Phương trình của $(P)$ là: $5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0.$

Câu 4/21

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)$.

Lời giải

$(P)$ đi qua ba điểm $A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (0;1;1),\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)$, suy ra $(P)$ có vectơ pháp tuyến là: $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 1;3; - 3){\rm{. }}$

Phương trình của $(P)$ là $ - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z - 1 = 0.$

Câu 5/21

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với a, b, c đều khác 0 . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm A, B, C.

Lời giải

$(P)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = ( - a;b;0)$, $\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)$, do đó $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (bc;ac$; $ab)$. Suy ra $(P)$ có phương trình:

$bc(x - a) + ac(y - 0) + ab(z - 0) = 0$${\rm{ hay }}bcx + acy + abz - abc = 0.{\rm{ }}$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a, b, c đều khác 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C. (ảnh 1)

Nhận xét: Do a, b, c đều khác 0 nên có thể viết lại phương trình trên thành $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. Phương trình này gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Câu 6/21

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 8$(\alpha ):x + 2y - z + 1 = 0$.

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$.

b) Vectơ $\vec m = (2;4; - 2)$ có là vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ hay không?

c) Trong hai điểm $A(1;3;2),B(1;1;4)$, điểm nào thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ ?

Lời giải

a) Mặt phẳng $(\alpha )$ nhận $\vec n = (1;2; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

b) Do $\vec m = 2\vec n$ mà $\vec n$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ nên $\vec m$ cũng là vecơ pháp tuyến của $(\alpha )$.

c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm $A(1;3;2),B(1;1;4)$, điểm nào có toạ độ thoả mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha )$.

Do $1 + 2 \cdot 3 - 2 + 1 \ne 0$ và $1 + 2 \cdot 1 - 4 + 1 = 0$ nên trong hai điểm A, B chỉ có toạ độ điểm $B$ thoả mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha )$. Vậy điểm $B$ thuộc mặt phẳng $(\alpha )$, điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha )$.

Câu 7/21

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $2x + 3y - z + 2 = 0$.

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$.

b) Trong hai điểm $A(1;3;2)$ và $B(4; - 1;7)$, điểm nào thuộc $(\alpha )$ ?

Lời giải

a) Một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\vec n = (2;3; - 1)$.

b) Thay lần lượt toạ độ của các điểm $A$ và $B$ vào vế trái của phương trình ( $\alpha $ ), ta có:

- $2.1 + 3.3 - 2 + 2 = 11 \ne 0$, nên toạ độ điểm $A$ không thoả mãn phương trình của $(\alpha )$. Vậy $A$ không thuộc $(\alpha )$.

$ \cdot 2.4 + 3.( - 1) - 7 + 2 = 0$, nên toạ độ điểm $B$ thoả mãn phương trình của $(\alpha )$. Vậy $B$ thuộc $(\alpha )$.

Câu 8/21

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm $A(2;0;0)$ và nhận $\vec n = (2;1; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm $B(1;2;3)$ và song song với giá cùa mỗi vectơ $\vec u = (1;2;3)$ và $\vec v = ( - 2;0;1)$;

c) Đi qua ba điểm $A(1;0;0),B(0;2;0)$ và $C(0;0;4)$.

Lời giải

a) $2x + y - z - 4 = 0$;

b) $2x - 7y + 4z = 0$;

c) $4x + 2y + z - 4 = 0$.

Câu 9/21