Cho tứ diện ABCD có các đỉnh \(A(4;0;2),B(0;5;1),C(4; - 1;3),D(3; - 1;5)\).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ABC)\) và \((ABD)\).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD.

Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = (3;1;2),\overrightarrow {AC}  = (1;1; - 1)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 3;5;2){\rm{. }}\)

Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\) đi qua \({A^\prime }(1;1;1)\) và nhận \(\vec n = ( - 3;5;2)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

\( - 3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 4 = 0.\)

a) Thời điểm \({\rm{t}} = 0\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\).

Thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_2}( - 1;1;0)\).

Thời điểm \({\rm{t}} = \pi \), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_3}( - 1; - 1; - 1)\).

b) Có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}}  = ( - 2; - 2; - 2)\) không cùng phương nên ba điểm \({{\rm{M}}_1},{{\rm{M}}_2},{{\rm{M}}_3}\) không thẳng hàng.

Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}}  = ( - 2; - 2; - 2)\) là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến: \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = ( - 2; - 2;4)\)

Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) đi qua \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 2; - 2;4)\) có phương trình là: \( - 2(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 1) = 0\) hay \(2x + \) \(2{\rm{y}} - 4{\rm{z}} = 0\).

c) Ta có 2(cost \( - \sin t) + 2\) (cost + sint \() - 4\) cost \( = 0\) nên vị trí \(M(\cos t - \sin t\); cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\).

Do đó vị trí \(M\) (cost - sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(2x + 2y - 4z = \) 0.