Cho tứ diện ABCD có các đỉnh \(A(4;0;2),B(0;5;1),C(4; - 1;3),D(3; - 1;5)\).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ABC)\) và \((ABD)\).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD.

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;3),B(4;3;5)\), \(C(2;3;2),{A^\prime }(1;1;1)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\).

Cho hai mặt phẳng \((P),(Q)\) có phương trình tổng quát là

$\left(P\right):3x-5y+7z+5=0\left(m\right) và \left(Q\right):x+y-2=0\left(m\right)$

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \((P),(Q)\).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \((P)\) trong số các điểm: \(A(1;3;1),B(1;2;3)\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) với a, b, c đều khác 0 . Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm A, B, C.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)\).

a) Tìm tọa độ các điểm \(C,{B^\prime },{D^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)\).

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm \(t\), vật thể ở vị trí \(M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)\). Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Xác định toạ độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).

b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).

c) Vị trí \(M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?