Bài tập Hai mặt phẳng song song – vuông góc lớp 12 (có lời giải)

Câu 1/25

Mặt phẳng \((P):4x + 3y + z + 5 = 0\) song song với mặt phẳng nào sau đây?

a) \((Q):8x + 6y + 2z + 9 = 0\);

b) \((R):8x + 6y + 2z + 10 = 0\);

c) \((S):4x + 2y + z + 5 = 0\).

Lời giải

Các mặt phẳng \((P),(Q),(R),(S)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (4;3;1)\), \({\vec n_2} = (8;6;2),{\vec n_3} = (8;6;2),{\vec n_4} = (4;2;1)\).

a) Ta có \({\vec n_2} = 2{\vec n_1},9 \ne 2.5\). Vậy \((P)//(Q)\).

b) Ta có \({\vec n_3} = 2{\vec n_1},10 = 2.5\). Vậy \((P) \equiv (R)\).

c) Ta có \(\frac{4}{4} \ne \frac{3}{2}\) suy ra \({\vec n_1}\) và \({\vec n_4}\) không cùng phương. Vậy \((P)\) cắt \((S)\).

Câu 2/25

Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và song song với mặt phẳng \((P):2x + y + z + 12 = 0\).

Lời giải

Dễ thấy điểm \(M\) không nằm trên \((P)\). Vì \((Q)//(P)\) nên \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;1;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n\) là:

\(2(x - 1) + (y - 2) + (z - 3) = 0{\rm{ hay }}2x + y + z - 7 = 0.{\rm{ }}\)

Câu 3/25

Mặt phẳng \((E)\) : \(2x - y + 8z + 1 = 0\) song song với mặt phẳng nào sau đây?

a) \((F):8x - 4y + 32z + 7 = 0\);

b) \((H):6x - 3y + 24z + 3 = 0\);

c) \((G):10x - 5y + 41z + 1 = 0\).

Lời giải

Các mặt phẳng \((E),(F),(G),(H)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = (2; - 1;8)\), \({\vec n_1} = (8; - 4;32),{\vec n_2} = (6; - 3;24),{\vec n_3} = (10; - 5;41)\).

a) Ta có \({\vec n_1} = 4\vec n\) và \(7 \ne 4\). 1. Vậy \((E)//(F)\).

b) Ta có \({\vec n_2} = 3\vec n\) và \(3 = 3\). 1. Vậy \((E) \equiv (H)\).

c) Ta có \(\frac{2}{{10}} \ne \frac{8}{{41}}\) suy ra \(\vec n\) và \({\vec n_3}\) không cùng phương. Vậy \((E)\) cắt \((G)\).

Câu 4/25

Cho ba mặt phẳng \((P),(Q),(R)\) có phương trình là:

\((P):x - 4y + 3z + 2 = 0;(Q):4x + y + 88 = 0 {\rm{ và }} (R):x + y + z + 9 = 0.{\rm{ }}\)

Chứng minh rằng \((P) \bot (Q)\) và \((P) \bot (R)\).

Lời giải

Các mặt phẳng \((P),(Q),(R)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (1; - 4;3),{\vec n_2} = (4;1;0)\), \({\vec n_3} = (1;1;1)\).

Ta có \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0\). Vậy \((P) \bot (Q)\).

Ta có \({\vec n_1} \cdot {\vec n_3} = 1 \cdot 1 + ( - 4) \cdot 1 + 3.1 = 0\). Vậy \((P) \bot (R)\).

Câu 5/25

Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau:

(F): \(3x + 2y + 5z + 3 = 0\),

\((H):x - 4y + z + 23 = 0\),

\((G):x - y + 3z + 24 = 0\).

Lời giải

Ba vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng \((F),(H),(G)\) lần lượt là \({\vec n_1} = (3;2;5),{\vec n_2} = (1; - 4;1),{\vec n_3} = (1; - 1;3)\). Ta có duy nhất \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0\) nên \((F) \bot (H)\).

Câu 6/25

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình là \(2x - y + 3z - 1 = 0\).

Lời giải

Gọi \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\).

( \(\alpha \) ) vuông góc với \((\beta )\) nên \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)\) có giá song song hoặc nằm trong \((\alpha )\).

\((\alpha )\) đi qua \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)\) có giá nằm trong \((\alpha )\).

Hơn nữa \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)\) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)\) không cùng phương nên chúng là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((\alpha )\).

Do đó mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_u}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = ( - 1;13;5)\).

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là:

\( - 1(x - 3) + 13(y - 1) + 5(z + 1) = 0{\rm{ hay }}x - 13y - 5z + 5 = 0.\)

Câu 7/25

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):3x + 2y - z + 1 = 0,\left( {{P_2}} \right):6x + 4y - 2z + 3 = 0\). Chứng minh rằng \(\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)\).

Lời giải

Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (3;2; - 1)\), \({\vec n_2} = (6;4; - 2)\). Vì \({\vec n_2} = 2{\vec n_1}\) và \(3 \ne 2\). 1 nên \(\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)\).

Câu 8/25

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):4x - 3y - 2z + 4 = 0,\left( {{P_2}} \right):5x - 2y + 13z + 9 = 0\). Chứng minh rằng \(\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)\).

Lời giải

Các vectơ \({\vec n_1} = (4; - 3; - 2),{\vec n_2} = (5; - 2;13)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

Vì \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 4 \cdot 5 + ( - 3) \cdot ( - 2) + ( - 2) \cdot 13 = 0\) nên \({\vec n_1} \bot {\vec n_2}\). Vậy \(\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)\).

Câu 9/25