Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:

a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.

c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: \(61,1 - 42 = 19,1(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\)

Cỡ mẫu: \(n = 20\)

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}\) là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) = \frac{1}{2}(48,4 + 50,8) = 49,6\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái

\({Q_2}{Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) = \frac{1}{2}(46,7 + 46,8) = 46,75\)

Tứ phân vị thứ ba là trung bị của nửa số liệu bên phải

\({Q_2}:{Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) = \frac{1}{2}(54,8 + 55,6) = 55,2\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8,45\)

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{42+43,4+\ldots+61,1}{20}=50,945$

Phương sai: $S^2=\frac{42^2+43,4^2+\ldots+61,1^2}{20}-50,945^2 \approx 32,2$

Độ lệch chuẫn: $\sigma=\sqrt{32,2} \approx 5,67$

b)

c) Ta có: \({x_1}; \ldots ;{x_3} \in [42;46);{x_4}; \ldots ;{x_{10}} \in [46;50);{x_{11}}; \ldots ;{x_{14}} \in [50;54);{x_{15}}; \ldots ;{x_{17}} \in [54;58)\);

\({x_{18}}; \ldots ;{x_{20}} \in [58;62)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in [46;50)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}^\prime  = 46 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{7}(50 - 46) = \frac{{330}}{7}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in [54;58)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}^\prime  = 54 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 7 + 4)}}{3}(58 - 54) = \frac{{166}}{3}\) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}^\prime  = {Q_3}^\prime  - {Q_1}^\prime  = \frac{{172}}{{21}}\)

Số trung bình: \(\bar x = \frac{{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}}{{20}} = 41,8\)

Phương sai: \({S^2} = \frac{{{{3.44}^2} + {{7.48}^2} + {{4.52}^2} + {{3.56}^2} + {{3.60}^2}}}{{20}} - {41,8^2} = 364,96\)

Độ lệch chuẩn: \(\sigma  = \sqrt {364,96}  = 19,1\)