Cho tam giác \(ABC\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC\); \(AB = a\). 

a) \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN = \frac{1}{2}AB\).

b) \(\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {CN} \).

c) \(\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {MN} \).

d) \(\left| {\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} } \right| = \frac{a}{2}\).

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm, ta có \(\overrightarrow {RJ}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ} \).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ} \).

c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} \).

d) Đúng. Do \(CARS\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {RA}  = \overrightarrow {SC} \).

Do \(ABIJ\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {IB} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {RJ}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ}  = \overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {IB} \).

Do \(BCPQ\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BQ}  = \overrightarrow {CP} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {CP} \).

Vậy ta có \(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS} \)\[ = \left( {\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {CP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} } \right)\]\(\)

\( = \left( {\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CS} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CP}  + \overrightarrow {PC} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS}  = \vec 0\).

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD} \).

b) Sai. Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 \).

c) Đúng.

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BE = DC\,\left( { = BA} \right)\\BE{\rm{//}}DC\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \]tứ giác \[BECD\] là hình bình hành. Do đó \(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DE} \).

d) Đúng. Ta có \(\left| {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| = DE = 2DI = 2\sqrt {D{C^2} + C{I^2}}  = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \) (với I là tâm của hình bình hành \[BECD\]).