Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right),AD\) là phân giác trong của góc \(A\). Qua trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\), ta kẻ đường thẳng song song với \(AD\), cắt cạnh \(AC\) tại \(E\) và cắt tia \(BA\) tại \(F\). Biết rằng \(AB = 6\) và \(4BD = 3BM\). Tính \(\left| {\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {EM} } \right|\).

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm, ta có \(\overrightarrow {RJ}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ} \).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ} \).

c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} \).

d) Đúng. Do \(CARS\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {RA}  = \overrightarrow {SC} \).

Do \(ABIJ\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {IB} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {RJ}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ}  = \overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {IB} \).

Do \(BCPQ\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BQ}  = \overrightarrow {CP} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {CP} \).

Vậy ta có \(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS} \)\[ = \left( {\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {CP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} } \right)\]\(\)

\( = \left( {\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CS} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CP}  + \overrightarrow {PC} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS}  = \vec 0\).

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD} \).

b) Sai. Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 \).

c) Đúng.

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BE = DC\,\left( { = BA} \right)\\BE{\rm{//}}DC\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \]tứ giác \[BECD\] là hình bình hành. Do đó \(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DE} \).

d) Đúng. Ta có \(\left| {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| = DE = 2DI = 2\sqrt {D{C^2} + C{I^2}}  = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \) (với I là tâm của hình bình hành \[BECD\]).