Câu hỏi:

19/08/2025 21 Lưu

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có \(AB = 2a,AD = 3a,A{A^\prime } = 4a(a > 0)\). Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các tia \(AB,AD,A{A^\prime }\) sao cho \(AM = a\), \(AN = 2a,AP = 3a\). Tính khoảng cách từ điểm \({C^\prime }\) đến mặt phẳng \((MNP)\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'BC'D' có AB = 2a,AD = 3a, (ảnh 1)

Xét hệ trục toạ độ Oxyz thoả mãn \(A(0;0;0)\) trùng gốc \(O,B(2a;0;0),D(0;3a;0),{A^\prime }(0;0;4a)\) (Hinh 7 ).

Ta có: \(M(a;0;0),N(0;2a;0),P(0;0;3a)\), \({C^\prime }(2a;3a;4a)\).

Phương trình mặt phẳng \((MNP)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{3a}} - 1 = 0\)

Khoảng cách từ điểm \({C^\prime }\) đến mặt phẳng \((MNP)\) bằng: \(\frac{{\left| {\frac{{2a}}{a} + \frac{{3a}}{{2a}} + \frac{{4a}}{{3a}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{2a}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{3a}}} \right)}^2}} }} = \frac{{23a}}{7}\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1),B(2;3;4),C(5;2;3)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = (1;2;3),\overrightarrow {AC}  = (4;1;2)\), suy ra \((ABC)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2.2 - 3.1;3.4 - 1.2;1.1 - 2.4) = (1;10; - 7)\).

Phương trình của \((ABC)\) là: \(1(x - 1) + 10(y - 1) - 7(z - 1) = 0\) hay \(x + 10y - 7z - 4 = 0\).

Chiều cao SH cùa hình chóp S.ABC chính là khoàng cách từ điểm \(S\) đến \((ABC)\).

Ta có: \(SH = d(S,(ABC)) = \frac{{|1.5 + 10 \cdot 0 + ( - 7) \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {{10}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{6}{{5\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}\).

Lời giải

Theo Hình 19 , ta có \(A(0;0;0),S(0;0;3a),B(2a;0;0),D(0;5a;0)\) và \(C(2a;5a;0)\).

Ta có \(\overrightarrow {SB}  = (2a;0; - 3a),\overrightarrow {SC}  = (2a;5a; - 3a)\), suy ra \([\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {15{a^2};0;10{a^2}} \right)\).

Mặt phẳng \((SBC)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;0;2)\).

Vậy mặt phẳng \((SBC)\) có phương trình là: \(3(x - 0) + 2(z - 3a) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.\)

Khi đó \(d(A,(SBC)) = \frac{{| - 6a|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }}a\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP