Trong không gian \[Oxyz,\] cho 3 điểm \[A\left( {1;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0; - 2;3} \right),C\left( {1;1;1} \right)\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa \[A,{\rm{ }}B\] sao cho khoảng cách từ \[C\] tới mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\). Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn D
Gọi \[(P):\left\{ \begin{array}{l}qua{\rm{ }}A(1;0;0)\\VTPT{\rm{ }}\overrightarrow n = (A;B;C) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}(P):A.(x - 1) + By + Cz = 0\\B \in (P): - A - 2B + 3C = 0 \Leftrightarrow A = - 2B + 3C{\rm{ (1)}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}d(C;(P)) = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {B + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow 3({B^2} + {C^2} + 2BC) = 4({A^2} + {B^2} + {C^2})\\ \Leftrightarrow {B^2} + {C^2} - 6BC + 4{A^2} = 0{\rm{ (2)}}\end{array}\]
Thay \[{\rm{(1)}}\] vào \[{\rm{(2)}}\] ta có: \[{B^2} + {C^2} - 6BC + 4{( - 2B + 3C)^2} = 0 \Leftrightarrow 17{B^2} - 54BC + 37{C^2} = 0\]
Cho \[C = 1:{\rm{ }}17{B^2} - 54B + 37 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 1 \Rightarrow A = 1\\B = \frac{{37}}{{17}} \Rightarrow A = \frac{{ - 23}}{{17}}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}(P):x + y + x - 1 = 0\\(P): - 23x + 37y + 17z + 23 = 0\end{array}\]
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn C
Giả sử
Khi đó mặt phẳng () có dạng:
Do
Ta có: 
Do 
là trực tâm tam giác 
nên: 
Thay 
vào 
ta có: 
Do đó 
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AB\) \( \Rightarrow \) Góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \[SB\] và \(AB\) và bằng góc \(\widehat {SBA} = {45^{\rm{o}}}\).
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = 2a\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2a;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \[D\left( {a;0;0} \right)\], \(S\left( {0;0;2a} \right)\), \(E\left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\).
\[\overrightarrow {AC} = \left( {a;a;0} \right)\], \(\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} \wedge \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \left( {{a^2}; - {a^2}; - \frac{{{a^2}}}{2}} \right)\)
\( \Rightarrow \) mặt phẳng \(\left( {ACE} \right)\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ACE} \right):2x - 2y - z = 0\).
Vậy \(d\left( {B,\left( {ACE} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2a} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{4a}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo