Viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua $M(2;-1;3)$, biết($\alpha$) cắt trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho tam giác ABC nhận M làm trực tâm

Chọn B

Hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AB\) \( \Rightarrow \) Góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \[SB\] và \(AB\) và bằng góc \(\widehat {SBA} = {45^{\rm{o}}}\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = 2a\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2a;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \[D\left( {a;0;0} \right)\], \(S\left( {0;0;2a} \right)\), \(E\left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\).

\[\overrightarrow {AC} = \left( {a;a;0} \right)\], \(\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} \wedge \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \left( {{a^2}; - {a^2}; - \frac{{{a^2}}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) mặt phẳng \(\left( {ACE} \right)\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ACE} \right):2x - 2y - z = 0\).

Vậy \(d\left( {B,\left( {ACE} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2a} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{4a}}{3}\).

Chọn D

Gọi \(\left( \alpha \right):\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0} \right)\).

\(O \in \left( \alpha \right)\) nên ta có: \(D = 0\,\)\(\left( 1 \right)\)

\(Q \in \left( \alpha \right)\) nên ta có: \(Ax + By + Cz - 2A - C = 0\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow C = - 2A\).

Theo đề bài: \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {N,\left( \alpha \right)} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left| {2A + 2B} \right| = \left| { - 6A} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2A + B = 6A\\2A + B = - 6A\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 2A\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\B = - 4A\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( * \right):\)Chọn \(A = 1 \Rightarrow B = 2,\,\,C = - 2\,\,\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right):\,x + 2y - 2z = 0\).

Từ \(\left( {**} \right):\)Chọn \(A = 1 \Rightarrow B = - 4,\,\,C = - 2\,\,\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right):\,x - 4y - 2z = 0\).