Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $288 d{m}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là $500000$ đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^2}\). Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là $1,08$ triệu đồng.

Gọi \(a\), \(b\), \(h\) \(\left( {a,b,h > 0} \right)\) lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể chứa nước.

Ta có: \(a = 2b\) nên \(V = abh = 2{b^2}.h\) \( \Rightarrow h = \frac{V}{{2{b^2}}}\).

Chi phí thuê nhân công thấp nhất tương đương với diện tích toàn phần của bể ít nhất.

$S_{TP}=S_{xq}+S_{đ}=2ah+2bh+ab=2.2b.\frac{V}{2b^2}+2b.\frac{V}{2b^2}+2b^2=\frac{3V}{b}=2b^2$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương \(\frac{{3V}}{{2b}}\), \(\frac{{3V}}{{2b}}\), \(2{b^2}\), ta được:

\({S_{TP}} = \frac{{3V}}{b} + 2{b^2} = \frac{{3V}}{{2b}} + \frac{{3V}}{{2b}} + 2{b^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{9{V^2}}}{{4{b^2}}}.2{b^2}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{9}{2}{{.288}^2}}} = 216\)\(\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)\( = 2,16\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Do đó chi phí thấp nhất thuê nhân công là \(2,16.500000 = 1080000\) (đồng). Chọn Đ