Câu hỏi:

19/08/2025 29 Lưu

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Gọi G là trọng tâm DSBC. Khi đó:

a) Góc giữa IJ và SA bằng 90°.

b) Góc giữa IJ và CD bằng 60°.

c) Cosin của góc giữa BI và SA bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

d) Cosin của góc giữa DG và SB bằng \(\frac{1}{3}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Góc giữa IJ và SA bằng 90°. (ảnh 1)

a) Ta có IJ // SB nên (IJ, SA) = (SB, SA) = \(\widehat {ASB} = 60^\circ \).

b) Ta có OJ là đường trung bình của DBCD nên OJ // CD Þ (IJ, CD) = (IJ, OJ).

Xét DIOJ có \(IJ = \frac{{SB}}{2} = \frac{a}{2};OJ = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2};OI = \frac{{SA}}{2} = \frac{a}{2}\).

Vậy DIOJ đều nên góc giữa IJ và CD bằng (IJ, OJ) = \(\widehat {IJO} = 60^\circ \).

c) Ta có OI // SA nên (BI, SA) = (BI, OI)

Trong DIOB, ta có \(\cos \widehat {OIB} = \frac{{B{I^2} + I{O^2} - B{O^2}}}{{2.BI.OI}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\cos \left( {BI,SA} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

d) Kẻ GK // SB, K Î BC. Khi đó góc giữa DG và SB chính là góc giữa DG và GK.

DJGK đồng dạng DJSB nên ta có \(\frac{{GK}}{{SB}} = \frac{{JK}}{{JB}} = \frac{{JG}}{{JS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GK = \frac{1}{3}a;JK = \frac{1}{3}JB = \frac{1}{3}.\frac{a}{2} = \frac{a}{6}\).

Do đó CK = CJ + JK = \(\frac{a}{2} + \frac{a}{6} = \frac{{2a}}{3}\).

\(DK = \sqrt {D{C^2} + C{K^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{3}\).

Áp dụng định lí cosin trong DBDI ta có

\(\cos \widehat {DBI} = \frac{{B{I^2} + B{D^2} - D{I^2}}}{{2.DB.BI}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng định lí cosin trong DBDG có

\(DG = \sqrt {B{D^2} + B{G^2} - BD.BG.\cos \widehat {DBG}} \)\( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - 2.a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = a\).

Áp dụng định lí cosin trong DKDG, ta có

\(\cos \widehat {DGK} = \frac{{G{D^2} + G{K^2} - D{K^2}}}{{2GD.GK}} = \frac{{{a^2} + {{\left( {\frac{a}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt {13} }}{3}} \right)}^2}}}{{2.a.\frac{a}{3}}} = - \frac{1}{2}\).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng DG và GK bằng 60°.

Do đó cosin của góc giữa DG và SB bằng \(\frac{1}{2}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

A. BB' ^ BD.           
B. A'C' ^ BD.          
C. A'B ^ DC'.                              
D. BC' ^ A'D.

Lời giải

A

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. mệnh đề nào sai?   (ảnh 1)

Do hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các mặt của hình hộp đều là hình thoi.

Suy ra A'C' ^ B'D' mà BD // B'D' nên A'C' ^ BD.

A'B ^ AB' mà AB' // DC' nên A'B ^ DC'.

BC' ^ B'C mà B'C // A'D nên BC' ^ A'D.

Câu 2

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b. 
B. Nếu a // b và c ^ a thì c ^ b. 
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b. 
D. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng (α) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Lời giải

B

Nếu a // b và c ^ a thì c ^ b.

Câu 3

A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c). 
B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c. 
C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. 
D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. 90°.                      
B. 45°.                      
C. 60°.                               
D. 30°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP