Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, CD, AD, BC.

a) (MN, CD) = 60°.

b) (MC, MD) = 30°.

c) Gọi E là trung điểm của AC. Khi đó QE ^ PE.

d) AB ^ CD.

a) Ta có \(MC = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Þ DMCD cân tại M.

Mà N là trung điểm của CD nên MN ^ CD Þ (MN, CD) = 90°.

b) Ta có \(\cos \left( {MC,MD} \right) = \cos \widehat {CMD} = \frac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}}\)\( = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra (MC, MD) ≈ 70,5°.

c) Tương tự câu a, ta có QP ^ AD.

Có PQ² = QD² – PD² = \({\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Ta thấy PE, QE lần lượt là đường trung bình của DABC và DACD nên \(QE = PE = \frac{a}{2}\).

Suy ra \(Q{E^2} + P{E^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2} = P{Q^2}\). Do đó DPQE vuông tại E hay PE ^ QE.

d) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB//QE\\CD//PE\\PE \bot QE\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot CD\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng; d) Đúng.