Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 72km/h thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó 40m, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -10t + 20 (m/s), trong đó t (giây). Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu giây?

b) Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét? Xe ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật không?

c) Nếu người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh khẩn cấp thì  xe ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật không?

a) quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) là một nguyên hàm của \(v\left( t \right)\) nên:

\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dx = \int {\left( { - 3t + 15} \right)} \,dx =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)

\( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t\)

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3t + 15 = 0 \Rightarrow t = 5\).

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây

b) Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:

\(s\left( 5 \right) =  - \frac{{{{3.5}^2}}}{2} + 15.5 = 37,5\left( m \right)\)

Do \(50 > 37,5\) nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn không xảy ra.

c) người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh nên xe đi được quãng đường \[15m\] trong 1 giây

Tổng quãng đường xe đi được đến khi dừng hẳn là : \[15 + 37,5 = 52,5\left( m \right)\]

Do \(50 < 52,5\) nên xe ô tô va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn xảy ra.

Trả lời: \(0,49\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)\)\( = 2{x^3} + {x^2} - 4x - 2\).

Suy ra \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {2{x^3} + {x^2} - 4x - 2} \right){\rm{d}}x} \)

                      \( = \int {2{x^3}{\rm{d}}x}  + \int {{x^2}{\rm{d}}x}  - \int {4x{\rm{d}}x}  - \int {2{\rm{d}}x} \)

                       \( = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x + C,\,C \in \mathbb{R}\)

Mà \(F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{6}\) nên suy ra \(C = 0\).

Vậy hàm số \(F\left( x \right) =  = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x \Rightarrow F\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{47}}{{96}} \approx 0,49\)