Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) =  - {t^3} + 6{t^2} + t + 5\)trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Cắt một đoạn dây dài \(60{\rm{m}}\)thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích \({S_1}\), đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích \({S_2}\) (như hình vẽ dưới)

Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng \(T = {S_1} + {S_2}\) là bao nhiêu?

Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40$/ tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm $\mathrm{0,25}\$$ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?

Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì \(t\) năm sau khi nó được khởi động, \[n\] ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó \(n = \frac{{{t^3}}}{3} - 6{t^2} + 32t\,\,\,\left( {0 \le t \le 12} \right)\). Với giá trị nào của \[t\] thì số người nhận phúc lợi tối đa là bao nhiêu?

Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là \(s\left( t \right)\) (km) là hàm phụ thuộc theo biến \(t\) (giây) tuân theo biểu thức sau: \(s\left( t \right) = {e^{{t^2} + 3}} + 2t{e^{3t + 1}}\) (km). Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là \(m.{e^n}\) (km/s). Tính \(T = m + n\)  (Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}({\rm{con}}),\]trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Một tấm bìa hình vuông có diện tích \(900\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\). Người ta cắt ở bốn góc của tấm bìa đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\) cm rồi gập tấm bìa lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm thể tích lớn nhất mà hình hộp chữ nhật có thể thu được?