Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1;3),\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2; - 8)$

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ $\vec b = ( - 2; - 1; - 3)$ có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $\cos \left( {{\rm{d}},{{\rm{d}}^\prime }} \right) = $ $\left| {\cos \left( {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right|$.

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 43 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu ( d , d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\vec b = ( - 2; - 1; - 3) = - \vec a$. Do đó $\vec b$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

c) vi $\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} $ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

$+) (d, d^{'}) = (\vec{a}, \vec{a^{'}}) nếu 0^{°} \leq (\vec{a}, \vec{a^{'}}) \leq 90^{°}$

$+) (d, d^{'}) = 180^{°} - (\vec{a}, \vec{a^{'}}) nếu 90^{°} < (\vec{a}, \vec{a^{'}}) \leq 180^{°} .$ Do đó $Do dó \cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = |\cos (\vec{b}, \vec{a^{'}})|$

\cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{a^{'}}|}{| \vec{a} | |\vec{a^{'}}|} = \frac{| 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot (- 8) |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 2^{2} + {(- 8)}^{2}}} = \frac{16}{7 \sqrt{22}}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$. Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$.

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Xem đáp án

Lời giải

Trong không gian Oxyz, ta có $C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)$; $\overline {BD} = ( - 2;3;0)$.

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là $\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)$.

Ta có $\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}$.

Suy ra $(S C, B D) \approx 70^{°} 21^{'}$ .

b) Ta có phương trình mặt phẳng $(SBD)$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay $3x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $(SBD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;3)$, mặt đáy $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Gọi $\alpha $ là góc giũua mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}$. Suy ra $((S B D), (A B C D)) \approx 50^{°} 14^{'}$ .

c) Gọi $\beta $ là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}$. Suy ra $(S C, (S B D)) \approx 18^{°} 4^{'}$ .

Câu 2

Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là

$S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)$ với $a > 0($ Hình 36).

a) Xác định toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {SA} $, $\overrightarrow {CD} $. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$. Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng $(SAC)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = (a;0;0)$.

Các vectơ $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} $ lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng $S A$ và CD nên $\cos (SA,CD) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{a^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a \cdot a}} = \frac{1}{2}({\rm{ do }}a > 0).$ Suy ra $(S A, C D) = 60^{°}$ .

b) Ta có $\overrightarrow {AC} = ( - a;a;0)$.

Xét vecto $[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{a}{2}}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2}}&0\\{ - a}&a\end{array}} \right|} \right)$ $ = \left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)$.

Khi đó, $\vec n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

${\rm{ Ta có }}\sin (SD,(SAC)) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + a \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)}^2}} }}$

$ = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 \cdot {a^2}\frac{{\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.$ Suy ra $(S D, (S A C)) \approx 28^{°}$ .

Câu 3