Tính góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \((P):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0\);

b) \((P):x + y + 24 = 0\) và \(\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0\);

c) \((P):2x + 4y - z + 23 = 0\) và \(\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0\).

Trong không gian Oxyz, ta có \(C(2;3;0),\overrightarrow {SC}  = (2;3; - 2)\); \(\overline {BD}  = ( - 2;3;0)\).

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)\).

Ta có \(\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}\).

Suy ra $(SC,BD)\approx {70}^{°}{21}^{\text{'}}$.

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\) hay \(3x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\). Gọi \(\alpha \) là góc giũua mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}\). Suy ra $\left(\right(SBD),(ABCD\left)\right)\approx {50}^{°}{14}^{\text{'}}$.

c) Gọi \(\beta \) là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng \((SBD)\).

Ta có \(\sin \beta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}\). Suy ra $(SC,(SBD\left)\right)\approx {18}^{°}{4}^{\text{'}}$.

Đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2; - 1;2)\).

Các trục tọa độ Ox , Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec i = (1;0;0)\), \(\vec j = (0;1;0)\) và \(\vec k = (0;0;1)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos (\Delta ,{\rm{Ox}}) = \frac{{|2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 0 + 2 \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{3}\\\cos (\Delta ,{\rm{Oy}}) = \frac{{|2 \cdot 0 + ( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{3}\\\cos (\Delta ,{\rm{Oz}}) = \frac{{|2 \cdot 0 + ( - 1) \cdot 0 + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\end{array}\)