Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

b) $(P):x + y + 24 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0$;

c) $(P):2x + 4y - z + 23 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 43 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (1;1; - 2),{\vec n^\prime } = (3; - 5;1)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.3 + 1 \cdot ( - 5) + ( - 2) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}$. Suy ra $((P), (P^{'})) \approx 73^{°} 59^{'}$ .

b) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (1;1;0),{\vec n^\prime } = (0;1;1)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 1 \cdot 1 + 0.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$. Suy ra $((P), (P^{'})) = 60^{°}$ .

c) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (2;4; - 1),{\vec n^\prime } = (3;5;26)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.3 + 4 \cdot 5 + ( - 1) \cdot 26|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {5^2} + {{26}^2}} }} = 0$. Suy ra

((P), (P^{'})) = 90^{°}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$. Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$.

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Xem đáp án

Lời giải

Trong không gian Oxyz, ta có $C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)$; $\overline {BD} = ( - 2;3;0)$.

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là $\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)$.

Ta có $\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}$.

Suy ra $(S C, B D) \approx 70^{°} 21^{'}$ .

b) Ta có phương trình mặt phẳng $(SBD)$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay $3x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $(SBD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;3)$, mặt đáy $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Gọi $\alpha $ là góc giũua mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}$. Suy ra $((S B D), (A B C D)) \approx 50^{°} 14^{'}$ .

c) Gọi $\beta $ là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}$. Suy ra $(S C, (S B D)) \approx 18^{°} 4^{'}$ .

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $OBC.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ với $O(0;0;0)$, $B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a),a > 0$.

a) Xác định tọa độ của điểm ${B^\prime }$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$.

c) Tính sin của góc giữa đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right.$ ).

Xem đáp án

Lời giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' với O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C(0; a; 0), O'(0 ; 0; 3a), a >0 (ảnh 1)

a) Ta có: $\overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {O{O^\prime }} = (0;0;3a)$. Suy ra ${x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a$, ${y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a$, tức là ${B^\prime }(2a;0;3a)$.

b) Vì $B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)$ nên mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ có phương trình là

$\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.$

c) Mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;6;2)$.

Do ${B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)$ nên $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)$, suy ra vectơ $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 2a;a; - 3a)$ cùng phương với vectơ $\vec u = ( - 2;1; - 3)$. Vì thế vectơ $\vec u = ( - 2;1; - 3)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${B^\prime }C$. Suy ra sin của góc giữa đường thẳng ${B^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {{O^\prime }BC} \right)$ bằng:

$\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}$

Câu 3