Cho mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;2;2)\) và đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\vec u = (2;2; - 1)\). Tính sin của góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\). Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong không gian Oxyz, ta có \(C(2;3;0),\overrightarrow {SC}  = (2;3; - 2)\); \(\overline {BD}  = ( - 2;3;0)\).

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)\).

Ta có \(\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}\).

Suy ra $(SC,BD)\approx {70}^{°}{21}^{\text{'}}$.

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\) hay \(3x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\). Gọi \(\alpha \) là góc giũua mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}\). Suy ra $\left(\right(SBD),(ABCD\left)\right)\approx {50}^{°}{14}^{\text{'}}$.

c) Gọi \(\beta \) là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng \((SBD)\).

Ta có \(\sin \beta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}\). Suy ra $(SC,(SBD\left)\right)\approx {18}^{°}{4}^{\text{'}}$.

a) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = (a;0;0)\).

Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng $S A$ và CD nên \(\cos (SA,CD) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{a^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a \cdot a}} = \frac{1}{2}({\rm{ do }}a > 0).\) Suy ra $(SA,CD)={60}^{°}$.

b) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = ( - a;a;0)\).

Xét vecto \([\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{a}{2}}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2}}&0\\{ - a}&a\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)\).

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD}  = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

\({\rm{ Ta có }}\sin (SD,(SAC)) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + a \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)}^2}} }}\)

\( = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2  \cdot {a^2}\frac{{\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\) Suy ra $(SD,(SAC\left)\right)\approx {28}^{°}$.