Cho mặt phẳng \((P):\,\,3x\,\, + \,\,4y\,\, + \,\,5z\,\, + \,\,2\,\, = \,\,0\) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\alpha ):\,\,x\,\, - \,\,2y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,(\beta ):\,\,x\,\, - \,\,2z\,\, - \,\,3\,\, = \,\,0\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:

Gọi \[H\] là trung điểm \[BC\], \[BC = a\sqrt 3 \], \[AH = \frac{a}{2}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[H\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right)\], \[B\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[C\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\],

\[M\left( {0;0;a} \right)\], \[N\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa mặt phẳng\(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(\left( {AMN} \right)\) có một vtpt \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right]\]\[ = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\]

\(\left( {ABC} \right)\) có một vtpt \[\overrightarrow {HM} \]\[ = \left( {0;0;1} \right)\], từ đó \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {\vec n.\overrightarrow {HM} } \right|}}{{\left| {\vec n} \right|HM}}\]\[ = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{1.1}}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].