A. $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.$

B.$\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.$

C. \[\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}.\]

D.$\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.$

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức ở lý thuyết.

Câu 2

Cho hai đường thẳng ${d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,2\,\, + \,\,t\\y\,\, = \,\, - 1\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\,3\end{array} \right.$ và ${d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,1\,\, - \,\,t\\y\,\, = \,\,2\\z\,\, = \,\, - 2\,\, + \,\,t\end{array} \right.$. Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

A. 30⁰

B. 120⁰

C. 150⁰

D. 60⁰

Lời giải

Chọn D

Gọi $\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}} $ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.

$\overrightarrow {{u_1}} \, = \,(1;\,\,1;\,\,0);\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,( - \,1;\,\,0;\,\,1)$

Áp dụng công thức ta có $cos\left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{\left| { - \,1} \right|}}{{\sqrt {1\,\, + \,\,1} .\sqrt {1\,\, + \,\,1} }}\,\, = \,\,\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 60 °$

Câu 3

Cho đường thẳng $\Delta :\,\,\frac{x}{1}\,\, = \,\,\frac{y}{{ - \,2}}\,\, = \,\,\frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): $5x\,\, + \,\,11y\,\, + \,\,2z\,\, - \,\,4\,\, = \,\,0$. Góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P) là:

A. 60⁰

B. -30⁰

C. 30⁰

D. -60⁰

Lời giải

Chọn C

Gọi $\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow n $ lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P). $\overrightarrow u = \left( {1;\,\, - 2;\,\,1} \right);\,\,\overrightarrow n \,\, = \,\,\left( {5;\,\,11;\,\,2} \right)$

Áp dụng công thức ta có \[\sin \left( {\Delta ,(P)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.5 - 11.2 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{11}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}.\]

$\Rightarrow (Δ, (P)) = 30 ° .$

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.$ và mặt phẳng (P):$x - y + 3 = 0$. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

A. 60⁰

B. 30⁰

C. 120⁰

D. 45⁰

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng $d$có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)$

Gọi $\alpha $là góc giữa Đường thẳng $d$và Mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó ta có

$\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Do đó

α = 60^{0}

Câu 5

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng (P): $ - \sqrt 3 x + y + 1 = 0$. Tính góc tạo bởi \[(P)\] với trục \[Ox\]?

A. 60⁰

B. 30⁰

C. 120⁰

D. 150⁰

Lời giải

Chọn A

Mặt phẳng \[(P)\] có VTPT \[\overrightarrow n = ( - \sqrt 3 ;1;0)\]

Trục \[Ox\]có VTCP \[\overrightarrow i = (1;0;0)\]

Góc tạo bởi \[(P)\] với trục \[Ox\]

\[{\rm{sin((P);}}Ox{\rm{)}} = \left| {{\rm{cos((P);}}Ox{\rm{)}}} \right|{\rm{ = }}\frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 3 .1 + 1.0 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {3 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Vậy góc tạo bởi \[(P)\] với trục \[Ox\] bằng 60⁰

Câu 6

Cho mặt phẳng $(P):\,\,3x\,\, + \,\,4y\,\, + \,\,5z\,\, + \,\,2\,\, = \,\,0$ và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):\,\,x\,\, - \,\,2y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,(\beta ):\,\,x\,\, - \,\,2z\,\, - \,\,3\,\, = \,\,0$. Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:

A. 60⁰

B. 45⁰

C. 30⁰

D. 90⁰

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý