Để đi từ Thọ Xuân (Thanh Hóa) vào Nha Trang (Khánh Hòa) có thể đi bằng một trong các phương tiện: Máy bay hoặc Ôtô. Biết rằng mỗi ngày từ Thọ Xuân vào Nha Trang có:

Trong một ngày, số cách lựa chọn phương tiện để đi từ Thọ Xuân vào Nha Trang là

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Chiều cao vòm là \(10\,{\rm{m}}\) nên \(OC = b = 10\), chiều rộng của vòm là \(24\,{\rm{m}}\)nên \(AB = 2a = 24 \Rightarrow a = 12\).

Khi đó phương trình elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\).

Gọi D là điểm thuộc elip có hình chiếu trên sàn là điểm H cách chân tường 4 m.

 Điểm H cách chân tường 4 m tương ứng cách tâm O là 8 m (vì từ tâm O đến tường là 12 m) \( \Rightarrow D\left( {8;{y_D}} \right)\). Thay tọa độ của D vào phương trình elip ta được: \(\frac{{{8^2}}}{{144}} + \frac{{{y_D}^2}}{{100}} = 1\)\( \Rightarrow {y_D} = \frac{{10\sqrt 5 }}{3}\).

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm trên sàn nhà cách chân tường 4 m lên đến mái vòm là \(\frac{{10\sqrt 5 }}{3}\) m.

Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,DE\) nên bốn điểm \(M,N,D,E\) đồng phẳng.

Trong mặt phẳng \(\left( {MNED} \right)\), gọi \(I = DM \cap NE \Rightarrow I \in AB,AB = \left( {ABCD} \right) \cap \left( {ABEF} \right)\).

Khi đó: \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IN}}{{NE}}\).

Theo giả thiết, ta có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = k\,\,(1) \Rightarrow \frac{{AC - MC}}{{AC}} = k \Rightarrow 1 - \frac{{MC}}{{AC}} = k \Rightarrow \frac{{MC}}{{AC}} = 1 - k\,\,(2).\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\); tương tự ta chứng minh được \(\frac{{BN}}{{FN}} = \frac{k}{{1 - k}}\).

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IA}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}\);

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,EF\) nên \(\frac{{IN}}{{NE}} = \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{k}{{1 - k}}\).

Mặt khác \(\frac{{AI}}{{DC}} + \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{AI}}{{FE}} + \frac{{BI}}{{EF}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{k}{{1 - k}} = 1\)\( \Rightarrow 2k = 1 - k \Rightarrow k = \frac{1}{3}{\rm{. }}\)

Vậy với \(k = \frac{1}{3}\) thì \(MN\,{\rm{//}}\,DE\).