Cho khối tứ diện \(ABCD\) có \(BC = 3\), \(CD = 4\), \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \widehat {BCD} = {90^0}\). Góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng . Tính côsin góc giữa hai phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) .
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có \(BC = 3\), \(CD = 4\), \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \widehat {BCD} = {90^0}\). Góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng . Tính côsin góc giữa hai phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) .
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Dựng \[AO \bot \left( {BCD} \right)\] khi đó \[O\] là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật \[BCDO\].
Góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(BC\) là góc giữa đường thẳng \(AD\) và \(OD\) và bằngXét tam giác ADO vuông tại O:
Gắn hệ tọa độ \[Oxyz\] vào hình chóp như hình vẽ.
Ta có:
\[O\left( {0;0;0} \right)\]; \[B\left( {4;0;0} \right)\]; \[D\left( {0;3;0} \right)\]; \[C\left( {4;3;0} \right)\]; \[A\left( {0;0;3\sqrt 3 } \right)\].
\[\overrightarrow {AB} = \left( {4;0; - 3\sqrt 3 } \right)\]; \[\overrightarrow {BC} = \left( {0;3;0} \right)\]; \[\overrightarrow {AD} = \left( {0;3; - 3\sqrt 3 } \right)\]; \[\overrightarrow {CD} = \left( { - 4;0;0} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nhận véctơ \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {9\sqrt 3 ;0;12} \right)\] làm véctơ pháp tuyến.
Mặt phẳng \[\left( {ADC} \right)\] nhận véctơ \[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0;12\sqrt 3 ;12} \right)\] làm véctơ pháp tuyến.
Nên \[\cos \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ADC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {43} .2}} = \frac{{2\sqrt {43} }}{{43}} \cdot \]
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: \[45\]
\[\left( P \right)\]qua O và nhận \[\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;2} \right)\]làm VTPT
\[\left( Q \right):x - y - 11 = 0\] có VTPT \[\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\]
Ta cóLời giải
Gọi \(O\) là trung điểm \(BC\).
Ta có: vàTheo đề bài:
Coi \(a = 1\).
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)như hình vẽ với \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\frac{1}{2};\,0} \right)\), \(B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(C\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(B'\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,1} \right)\), \(M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,\frac{3}{2}} \right)\).
Khi đó \(\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB'} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} = 4\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {1;\,5\sqrt 3 ;\,2\sqrt 3 } \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'M} \right)\).
Vậy \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 } \right|}}{{1.2\sqrt {22} }} = \sqrt {\frac{3}{{22}}} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = \sqrt {\frac{{19}}{{22}}} = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo