Câu hỏi:

21/08/2025 29 Lưu

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua điểm \[O\] và cắt các tia \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại các điểm \[A,B,C\] khác \[O\] thỏa mãn tam giác \[ABC\] có trọng tâm là điểm \[G\left( { - 6; - 12;18} \right)\]. Tọa độ tâm của mặt cầu \[\left( S \right)\] là

A. \[\left( {9;18; - 27} \right)\].            
B. \[\left( { - 3; - 6;9} \right)\].      
C. \[\left( {3;6; - 9} \right)\].      
D. \[\left( { - 9; - 18;27} \right)\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Chọn D

Gọi tọa độ các điểm trên ba tia \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt là \[A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\] với \[a,b,c > 0\].

Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{3} =  - 6\\\frac{b}{3} =  - 12\\\frac{c}{3} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 18\\b =  - 36\\c = 54\end{array} \right.\].

Gọi phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] cần tìm là: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0\]. Vì \[\left( S \right)\] qua các điểm \[O,A,B,C\] nên ta có hệ:

\[\left\{ \begin{array}{l}q = 0\\36m + q =  - {18^2}\\72n + q =  - {36^2}\\ - 108p + q =  - {54^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 9\\n =  - 18\\p = 27\\q = 0\end{array} \right.\].

Vậy tọa độ tâm mặt cầu \[\left( S \right)\] là \[\left( { - 9; - 18;27} \right)\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Chọn A

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S: (x-cosa)^2 + (y-cosB)^2 + (z-cosy)^2 = 4 với a, b và y lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì (ảnh 1)

Ta dễ dàng chứng minh được: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma } \right)\).

Suy ra tâm \(I\) thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\)có tâm \(O\left( {0;0;0} \right),R = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\beta  + {{\cos }^2}\gamma }  = 1\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\).

Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm là \(O\), bán kính \({R_1} = \left| {OI - R} \right| = \left| {1 - 2} \right| = 1\).

Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm là \(O\), bán kính \({R_2} = OI + R = 1 + 2 = 3\).

Vậy tổng diện tích hai mặt cầu bằng \(4\pi \left( {R_1^2 + R_2^2} \right) = 4\pi \left( {{1^2} + {3^2}} \right) = 40\pi \).

Lời giải

Chọn D

Cho hai điểm A, B cố định trong không gian có độ dài AB là 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng (ảnh 1)

Ta có: \[MA = 3MB \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} = 9{\overrightarrow {MB} ^2}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} = 9{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow I{A^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 8M{I^2}\,\,\left( 1 \right)\]

Gọi \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA}  - 9\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {BI}  = \frac{1}{8}\overrightarrow {AB} \] nên \(IB = \frac{1}{2};\,IA = \frac{9}{2}\).

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \[ \Leftrightarrow 8M{I^2}\, = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}\] suy ra \(M \in S\left( {I;\frac{3}{2}} \right).\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).       

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).        
D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. \(I\left( {3;\, - 2;\, - 1} \right)\).    
B. \(I\left( {2;\, - 1;\,0} \right)\).  
C. \(I\left( {3;\, - 2;\,1} \right)\).                   
D. \(I\left( { - 3;\, - 2;\,1} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP