Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua điểm \(D\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\) và tiếp xúc với các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tại các điểm \[A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)\], \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) trong đó \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0\,;\,1} \right\}\]. Tính bán kính của \(\left( S \right)\).

Đáp án: \(5\sqrt 2 \)

Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tại các điểm \[A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)\], \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) nên ta có \(IA \bot Ox\), \(IB \bot Oy\), \(IC \bot Oz\) hay \(A\), \(B\), \(C\) tương ứng là hình chiếu của \(I\) trên \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\)\[ \Rightarrow I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\].

\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].

Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} = {c^2} = d{\rm{ }}\left( 1 \right)\\5 - 2b - 4c + d = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Vì \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0\,;\,1} \right\}\] nên \(0 < d \ne 1\). Mặt khác, từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {2d} \).

· TH1: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = c = \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 - 6\sqrt d  + d = 0 \Leftrightarrow d = 25\) (nhận).

\( \Rightarrow R = \sqrt {2.25}  = 5\sqrt 2 \).

· TH2: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = c =  - \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 + 6\sqrt d  + d = 0\) (vô nghiệm).

· TH3: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = \sqrt d \), \(c =  - \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 + 2\sqrt d  + d = 0\) (vô nghiệm).

· TH4: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b =  - \sqrt d \), \(c = \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 - 2\sqrt d  + d = 0\) (vô nghiệm).

Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = 5\sqrt 2 \).