Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua điểm \(D\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\) và tiếp xúc với các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tại các điểm \[A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)\], \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) trong đó \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0\,;\,1} \right\}\]. Tính bán kính của \(\left( S \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua điểm \(D\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\) và tiếp xúc với các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tại các điểm \[A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)\], \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) trong đó \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0\,;\,1} \right\}\]. Tính bán kính của \(\left( S \right)\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: \(5\sqrt 2 \)
Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tại các điểm \[A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)\], \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) nên ta có \(IA \bot Ox\), \(IB \bot Oy\), \(IC \bot Oz\) hay \(A\), \(B\), \(C\) tương ứng là hình chiếu của \(I\) trên \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\)\[ \Rightarrow I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\].
\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].
Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} = {c^2} = d{\rm{ }}\left( 1 \right)\\5 - 2b - 4c + d = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Vì \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0\,;\,1} \right\}\] nên \(0 < d \ne 1\). Mặt khác, từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {2d} \).
· TH1: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = c = \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 - 6\sqrt d + d = 0 \Leftrightarrow d = 25\) (nhận).
\( \Rightarrow R = \sqrt {2.25} = 5\sqrt 2 \).
· TH2: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = c = - \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 + 6\sqrt d + d = 0\) (vô nghiệm).
· TH3: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = \sqrt d \), \(c = - \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 + 2\sqrt d + d = 0\) (vô nghiệm).
· TH4: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = - \sqrt d \), \(c = \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 - 2\sqrt d + d = 0\) (vô nghiệm).
Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = 5\sqrt 2 \).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\)
b)
· Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}} = 5\)
Vì \(IM = R = 5\) nên điểm \(M\left( {1;2;0} \right)\) nằm trên mặt cầu . Vậy bạn Minh Hiền có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
· Ta có: \(IN = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} > 5\)
Vì \(IN > R\) nên điểm \(N\left( { - 3;1;0} \right)\) nằm ngoài mặt cầu . Vậy bạn Trúc Linh không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Lời giải
Đáp án: \(m = \sqrt 3 \)
Mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 1\) có tâm \(I\left( {3\,;\,0\,;\,2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + 1} \).
\(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = R\)
\( \Leftrightarrow 2 = \sqrt {{m^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow {m^2} = 3\)\( \Leftrightarrow m = \sqrt 3 \) (do \(m\) dương).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập