Câu hỏi:

23/08/2025 53 Lưu

Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 , \(3, \ldots ,24\); hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố \(A\) : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3 " và biến cố \(B\) : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4 ".

a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố \(A,B,A \cap B,A \cap \bar B\) (Hình 2).

Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 ,  ; 24 hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau (ảnh 1)

b) So sánh: \(n(A){\rm{ và  }}n(A \cap B) + n(A \cap \bar B){\rm{. }}\)

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(A \cap B) + {\rm{P}}(A \cap \bar B).\)

c) So sánh: \({\rm{P}}(A \cap B)\) và \({\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B)\); \({\rm{P}}(A \cap \bar B){\rm{ và  P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}\)

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

\({\rm{ a) }}\Omega  = \{ 1;2;3; \ldots ;24\} .\)

\(A = \{ 3;6;9;12;15;18;21;24\} .\)

\(B = \{ 4;8;12;16;20;24\} .\)

\(A \cap B = \{ 12;24\} \).

\(\bar B = \{ 1;2;3;5;6;7;9;10;11;13;14;15;17;18;19;21;22;23\} {\rm{. }}\)

\(A \cap \bar B = \{ 3;6;9;15;18;21\} \).

b) Từ câu a), suy ra \(n(A) = 8,n(A \cap B) = 2,n(A \cap \bar B) = 6\).

Do \(8 = 2 + 6\) nên \(n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \bar B)\).

Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{n(A \cap B) + n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} + \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}}\).

Mà \({\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}};{\rm{P}}(A \cap \bar B) = \frac{{n(A \cap \bar B)}}{{n(\Omega )}}\).

Vậy \({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) + {\rm{P}}(A \cap \bar B)\).

c) Ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}})\).

\({\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = {\rm{P}}(\bar B) \cdot \frac{{P(A \cap \bar B)}}{{P(\bar B)}} = {\rm{P}}(A \cap \bar B).\)

Vì hai biến cố \({\rm{A}} \cap {\rm{B}}\) và \(A \cap \bar B\) là hai biến cố xung khắc và \(({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) \cup (A \cap \bar B)\) = A nên theo công thức xác suất ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) + {\rm{P}}(A \cap \bar B) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B).\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Gọi \(A\) là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; \(B\) là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy". Ta cần tính \(P(B)\). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A).\)

- Tính \(P(A)\) : Vi thứ Hai, ông An đi làm bằng xe buýt nên xác suất để thứ Ba (hôm sau), ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Vậy \(P(A) = 0,4\).

- Tính \(P(\bar A)\) : Ta có \(P(\bar A) = 1 - 0,4 = 0,6\).

- Tính \(P(B\mid A)\) : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy.

- Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 và đi làm bằng xe máy là \(1 - 0,7 = 0,3\). Do đó, nếu thứ Ba , ông An đi làm bằng xe máy thì xác suất để thứ Tư, ông đi làm bằng xe máy là 0,3 . Vậy \(P(B\mid A) = 0,3\).

- Tính \(P(B\mid \bar A)\) : Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông An đi làm bằng xe buýt. Theo giả thiết, né́u hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4 . Do đó nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe buýt thì

\(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,4 \cdot 0,3 + 0,6 \cdot 0,4 = 0,36.\)

Lời giải

Xét hai biến cố: \(A\) : "Bông hoa bạn An hái được chứa phiếu có thưởng";

\(B\) : "Bông hoa bạn Bình hái được chứa phiếu có thưởng".

Khi đó, ta có:

\({\rm{P}}(B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2},\quad {\rm{P}}(\bar B) = 1 - {\rm{P}}(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{4}{9},\quad {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{5}{9}.\)

a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:

Trong trò chời hái hoa có thưởng của lốp 12 A , cô giáo treo 10 bông hoa trên cành cây, trong đó có 5 bông hoa chứa phiếu có thưởng. (ảnh 1)

b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{2}{\rm{. }}\)

Vậy xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng bằng \(\frac{1}{2}\).