Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(SA = SB = AB\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AS} \). Tính \(\cos \alpha \).

Lời giải

a) Đúng. Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(BDD'B'\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D'} \).

b) Đúng. Ta có: \(A'C' = \sqrt {A'{{B'}^2} + B'{{C'}^2}}  = \sqrt 2 \); \(A'C = \sqrt {A'{{C'}^2} + C{{C'}^2}}  = \sqrt 3 \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = A'C = \sqrt 3 \). Tương tự, \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = \sqrt 3 \).

c) Đúng. Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A} \).

Mà \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {D'D} \). Do đó, \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {D'D} \).

d) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

            \( = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DD'}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {DD'}  \cdot \overrightarrow {AB} \)

            \( = 0 - {1^2} + {1^2} - 0 + 0 - 0 = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\).

Lời giải

Giả sử chi phí sản suất các mặt hình trụ là như nhau và các mép nối không đáng kể.

Ta có, thể tích hình trụ là \(V = \pi {r^2}h = 330{\rm{ (ml)}} = 330{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}) \Rightarrow h = \frac{{330}}{{\pi {r^2}}}{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích toàn phần của hộp đựng là: \(S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + 2\pi r \cdot h = 2\pi {r^2} + \frac{{660}}{r}\).

Ta có \(S'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{660}}{{{r^2}}};\,\,S'\left( r \right) = 0 \Rightarrow {r^3} = \frac{{165}}{\pi } \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}}{\rm{ (cm)}}\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta kết luận \(r = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}}{\rm{ (cm)}}\) thì chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất.