Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với bình phương của vận tốc, khi \(v = 10\) (km/giờ) thì phần thứ hai bằng 10 nghìn đồng/giờ. Biết tàu chạy với vận tốc \(v = 30\) (km/giờ), tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường sông là bao nhiêu nghìn đồng?

Lời giải

a) Đúng. Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(BDD'B'\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D'} \).

b) Đúng. Ta có: \(A'C' = \sqrt {A'{{B'}^2} + B'{{C'}^2}}  = \sqrt 2 \); \(A'C = \sqrt {A'{{C'}^2} + C{{C'}^2}}  = \sqrt 3 \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = A'C = \sqrt 3 \). Tương tự, \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = \sqrt 3 \).

c) Đúng. Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A} \).

Mà \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {A'A}  = \overrightarrow {D'D} \). Do đó, \(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {D'D} \).

d) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

            \( = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DD'}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {DD'}  \cdot \overrightarrow {AB} \)

            \( = 0 - {1^2} + {1^2} - 0 + 0 - 0 = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {A'C}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\).

Lời giải

Vì \[SA = SB = AB\] nên tam giác \[SAB\] đều, do đó \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ \].

Ta có \[\alpha  = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 180^\circ  - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)\]\[ = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \].

Suy ra \[\cos \alpha  = \frac{{ - 1}}{2}\]. Chọn A.