Người ta treo một bóng đèn có khối lượng m = 1 kg bằng cách luồn sợi dây qua một cái móc của đèn và hai đầu dây được gắn chặt trên trần nhà. Hai nửa sợi dây có chiều dài bằng nhau và hợp với nhau một góc bằng 60°. Tính lực căng của mỗi nửa sợi dây, lấy g = 10 m/s².

Thời gian nếu đi trực tiếp từ A đến B trên sa mạc là \(\frac{{70}}{{30}} = \frac{7}{3} > 2\).

Do đó, nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định.

Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn: \(A \to C \to D \to B\).

Đặt \(HC = x\,\,\left( {0 < x < 70} \right);DK = y\,\,\left( {0 < y < 70} \right)\).

Thời gian đi từ \(A \to C\) là \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}}\).

Thời gian đi từ \(C \to D\) là \(\frac{{70 - \left( {x + y} \right)}}{{50}}\).

Thời gian đi từ \(D \to B\) là \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}}\).

Tổng thời gian đi từ \(A \to B\) theo cách này là:

 \(\frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{70 - \left( {x + y} \right)}}{{50}} + \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - x}}{{50}} + \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {y^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - y}}{{50}} = f\left( x \right) + f\left( y \right)\).

Xét \(f\left( u \right) = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {u^2}} }}{{30}} + \frac{{35 - u}}{{50}}\), \(0 < u < 70\).

Ta có \(f'\left( u \right) = \frac{u}{{30\sqrt {{{10}^2} + {u^2}} }} - \frac{1}{{50}};f'\left( u \right) = 0 \Rightarrow u = \frac{{15}}{2}\).

Lập bảng biến thiên ta được \(\mathop {\min }\limits_{u \in \left( {0;70} \right)} f\left( u \right) = f\left( {\frac{{15}}{2}} \right) = \frac{{29}}{{30}}\).

Khi đó \(f\left( x \right) + f\left( y \right) \ge \frac{{29}}{{30}} + \frac{{29}}{{30}} = \frac{{29}}{{15}} \approx 1,93\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \frac{{15}}{2}\).

Vậy để đến B sớm nhất thì ông ta phải đi trên đoạn AC một khoảng 12,5 km, đoạn CD một khoảng 45 km và đi trên đoạn DB một khoảng 12,5 km.

Parabol \(y' = f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\) có đỉnh \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và đi qua \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) nên ta có hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{2b}}{{6a}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}12a + 4b + c = - 1\\c = 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\\b = - \frac{1}{2}\end{array}\\{c = 0\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\].

Tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) thuộc trục hoành nên suy ra tâm đối xứng có toạ độ \(\left( {2;\,\,0} \right)\).

Do đó \(\frac{{{2^3}}}{{12}} - \frac{{{2^2}}}{2} + d = 0 \Leftrightarrow d = \frac{4}{3}\).

Khi đó, đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{12}} - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{4}{3}\) có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;\,\,\frac{4}{3}} \right)\) và \(B\left( {4;\,\, - \frac{4}{3}} \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - \frac{8}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt {13} }}{3} \approx 4,81\).

Đáp án: 4,81.