Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Khi đó:

a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng 60°.

c) Tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AN} \) là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \).

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48'\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48'\).

c) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5 \).

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên \(AM = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Lại có M là trung điểm của SB nên \(MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {MAB}\).

Xét MAB có \(\cos \widehat {MAB} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của SBD.

Do đó \(MN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.