Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và I là trung điểm của MN. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD.
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN} \).
c) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
d) \(3\overrightarrow {AI} - 2\overrightarrow {AG} = \overrightarrow 0 \).
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và I là trung điểm của MN. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD.
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN} \).
c) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
d) \(3\overrightarrow {AI} - 2\overrightarrow {AG} = \overrightarrow 0 \).
Quảng cáo
Trả lời:


a) Do M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} \\\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)\).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \).
Do đó \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN} \).
c) Có \(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {NC} ;\overrightarrow {ID} = \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {ND} \).
Suy ra \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 \).
d) Do \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AI} \).
Mặt khác vì G là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
Suy ra \(4\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AG} \). Do đó \(4\overrightarrow {AI} - 3\overrightarrow {AG} = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.
b) Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \).
Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.
Suy ra \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48'\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48'\).
c) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.
Suy ra \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5 \).
Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên \(AM = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Lại có M là trung điểm của SB nên \(MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {MAB}\).
Xét MAB có \(\cos \widehat {MAB} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của SBD.
Do đó \(MN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Lời giải
Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \); \(AC = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
Tam giác SAC vuông tại A, có \(SC = \frac{{AC}}{{\cos 45^\circ }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 5 \).
Ta có \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {CA} = \left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 2\sqrt 5 .\sqrt {10} .\cos 135^\circ = 2\sqrt 5 .\sqrt {10} .\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = - 10\).
Trả lời: −10.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.