Câu hỏi:

30/08/2025 58 Lưu

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 2; 0), B(2; −5; 4), C(0; 2; 0).

(a) \(\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 7;4} \right)\).

(b) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

(c) Điểm M(a; b; c) thuộc mặt phẳng (Oyz) để biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c = \frac{5}{3}\).

(d) Chu vi tam giác ABC bằng \(1 + \sqrt {74} + \sqrt {69} \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 7;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;0;0} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 7;4} \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \ne 0\). Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

c) Gọi G là trọng tâm ABC.

Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\).

Để \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\) nhỏ nhất.

Suy ra M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (Oyz).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 2 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{2 - 5 + 2}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\\{z_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{4}{3}} \right)\).

Suy ra \(M\left( {0; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\). Do đó a + b + c = 1.

d) Có \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {74} \);\(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 1\);

\(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 + 5} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {69} \).

Do đó chu vi tam giác ABC bằng \(1 + \sqrt {69} + \sqrt {74} \).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - 2;0; - 4} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;\sqrt 3 ; - 4} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 4} \right)\)\( \Rightarrow SA = SB = SC = \sqrt {20} \).

Lại có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2\sqrt 3 ;0} \right)\)\( \Rightarrow AB = AC = BC = \sqrt {12} \).

Do đó hình chóp S.ABC đều có đường cao là SO = 4 với O(0; 0; 0) là trọng tâm tam giác ABC.

Mặt khác, \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {SA} = \left( { - 2k;0; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {SB} = \left( {k;\sqrt 3 k; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SC} = \left( {k; - \sqrt 3 k; - 4k} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 12k} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P = \left( {0;0; - 30} \right)\) nên \( - 12k = - 30 \Leftrightarrow k = \frac{5}{2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( { - 5;0; - 10} \right),\overrightarrow {{F_2}} = \left( {\frac{5}{2};\frac{{5\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} = \frac{{175}}{2} = 87,5\).

Trả lời: 87,5.

Lời giải

Theo đề ta có A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 7; 0), E(0; 0; 5).

Vì K là tâm của ABCD nên K là trung điểm của BD. Suy ra K(3; 3,5; 0).

H  (Oyz)  H(0; 7; 5).

Vì N là trọng tâm của tam giác AHK nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\\b = \frac{{0 + 3,5 + 7}}{3} = \frac{7}{2}\\c = \frac{{0 + 0 + 5}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\).

Do đó P = 2a – 4b + 3c \( = 2.1 - 4.\frac{7}{2} + 3.\frac{5}{3} = - 7\).

Trả lời: −7.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP