Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(BC,CD,SA\). Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với các mặt của hình chóp \(S.ABCD\) là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).

Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên chọn \(k = 1\) hay \(x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{23\pi }}{{12}};\,\,x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{{12}}\).

Vậy phương trình \(\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\) có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

Đáp án: 2.

Ta có \[\cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right]\].

\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = - \frac{7}{9}\); \(\cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = - \frac{7}{8}\).

Do đó \[\cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right] = \frac{1}{2}\left( { - \frac{7}{9} - \frac{7}{8}} \right) = - \frac{{119}}{{144}}\]. Chọn D.