Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(BC,CD,SA\). Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với các mặt của hình chóp \(S.ABCD\) là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).

Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên chọn \(k = 1\) hay \(x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{23\pi }}{{12}};\,\,x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{{12}}\).

Vậy phương trình \(\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\) có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

Đáp án: 2.

Để độ sâu của mực nước là \(15{\rm{\;m}}\) thì:

\(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 15 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(0 \le t < 24{\rm{ n\^e n }}0 \le - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)\( \Leftrightarrow \frac{6}{\pi } \le 12k < 24 + \frac{6}{\pi } \Leftrightarrow \frac{1}{{2\pi }} \le k < 2 + \frac{1}{{2\pi }}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1\,;2} \right\}\).

Với \[k = 1\] thì \(t = - \frac{6}{\pi } + 12 \cdot 1 \approx 10,09\) (giờ);

Với \[k = 2\] thì \(t = - \frac{6}{\pi } + 12 \cdot 2 \approx 22,09\) (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.