Cho \(\tan \alpha  - \cot \alpha  = 3.\) Tính giá trị của biểu thức sau: \(A = {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha \).

Gọi \(x,y\) lần lượt là số xe máy Lead và số xe máy Vision nhập về để lợi nhuận thu được là lớn nhất \(\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Số vốn ban đầu không vượt quá \(36\) tỉ đồng nên ta có: \(40x + 30y \le 36000\).

Nhu cầu thị trường không vượt quá \(1100\) xe nên: \(x + y \le 1100\).

Nhu cầu xe Lead không vượt quá \(1,5\) lần nhu cầu Vision nên: \(x \le \frac{3}{2}y\).

Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\40x + 30y \le 36000\\x + y \le 1100\end{array}\\{x \le \frac{3}{2}y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\left( I \right)\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( I \right)\) trên mặt phẳng \(Oxy\) ta được miền tứ giác \(OEFK\), với \(O\left( {0;0} \right),\,E\left( {600;400} \right),\,F\left( {300;800} \right),\,K\left( {0;1100} \right)\).

Lợi nhuận: \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 3,2y\) (triệu đồng).

\(F\left( {0;0} \right) = 0\)

\(F\left( {600;400} \right) = 4280\)

\(F\left( {300;800} \right) = 4060\)

\(F\left( {0;1100} \right) = 3520\).

Vậy cửa hàng nhập \(600\) xe Lead và \(400\)xe Vision thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là: \(5 \times 600 + 3,2 \times 400 = 4280\) triệu đồng.

Vì \(\tan \alpha  = 1 \Rightarrow \cos \alpha  \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của B cho \({\cos ^2}\alpha \) ta được:

\(B = \frac{{\left( {{{\sin }^2}\alpha  + 1} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\left( {2{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha  + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha  + {{\tan }^2}\alpha  + 1}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3\).

Đáp án: 3.