(0,5 điểm) Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(20{\rm{\;cm}}\). Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác (hình vẽ) để được hình chữ nhật \(MNPQ.\) Tìm độ dài đoạn \(MB\) để hình chữ nhật \(MNPQ\) có diện tích lớn nhất.
(0,5 điểm) Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(20{\rm{\;cm}}\). Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác (hình vẽ) để được hình chữ nhật \(MNPQ.\) Tìm độ dài đoạn \(MB\) để hình chữ nhật \(MNPQ\) có diện tích lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
⦁ Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(20{\rm{\;cm}}\) nên \(BC = 20{\rm{\;cm}}\) và \(\widehat {B\,} = 60^\circ .\)
Giả sử \(MB = x\,\,\left( {x > 0} \right){\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\) Khi đó \[QC = x{\rm{\;(cm)}}\] và \(MQ = BC - BM - QC = 20 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta MNB\) vuông tại \(M,\) ta có: \(MN = MB \cdot \tan B = x\tan 60^\circ = x\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là: \(S\left( x \right) = \left( {20 - 2x} \right) \cdot x\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Để diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\left( x \right)\).
⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số không âm.
Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)
Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:
\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.
⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho biểu thức \(S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right),\) ta được:
\[S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right) \le 2\sqrt 3 \cdot {\left( {\frac{{x + 10 - x}}{2}} \right)^2} = 50\sqrt 3 \].
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[x = 10 - x\] hay \[x = 5\].
Vậy \(MB = 5{\rm{\;cm}}\) thì hình chữ nhật \(MNPQ\) có diện tích lớn nhất.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) là số trận thắng – thua và \(y\) là số trận hòa \[\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*} \right)\].
Nếu có 5 đội tham gia thi đấu, mỗi đội phải đấu với 4 đội còn lại nên với 5 đội tham gia thì có \(5 \cdot 4 = 20\) (trận đấu). Nhưng mỗi trận đấy có 2 đội tham gia nên tổng số trận đấu khi có 5 đội tham gia là \(\frac{{5 \cdot 4}}{2} = 10\) (trận đấu).
Vì có 10 trận đấu nên
Mặt khác, tổng số điểm các đội là \(10 + 9 + 6 + 4 + 0 = 29\) (điểm).
Mỗi trận thắng – thua có tổng số điểm là 3 và mỗi trận hòa có tổng số có tổng số điểm là 2 nên ta có phương trình \(3x + 2y = 29\) \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình
Từ phương trình thứ hai ta có \(x + y = 10\) suy ra \(x = 10 - y\). Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:
\(3\left( {10 - y} \right) + 2y = 29\), suy ra \(30 - 3y + 2y = 29\) hay \(y = 1\) (thỏa mãn).
Từ đó \(x = 10 - y = 10 - 1 = 9\) (thỏa mãn).
Mỗi đội có 4 trận đấu với các đội còn lại mà đội A có 10 điểm tức đội A thắng 3 trận hòa 1 trận.
Đội B có 9 điểm tức thắng 3 trận thua 1 trận.
Đội C có 6 điểm tức thắng 2 trận thua 2 trận.
Đội D có 4 điểm thắng 1 trận hòa 1 trận.
Đội E không có điểm tức là thua hết 4 trận.
Vậy trận hòa là của đội A và đội D.
Câu 2
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}6x - 3y = - 12\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\] bằng phương pháp thế theo các bước:
a) Từ phương trình (2), ta có \(y = 2x + 4\).
b) Thay \(y = 2x + 4\) vào phương trình (1), ta được \(0x = 0\).
c) Phương trình \(0x = 0\) vô nghiệm.
d) Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là \(\left( {2y + 4;\,\,y} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}6x - 3y = - 12\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\] bằng phương pháp thế theo các bước:
a) Từ phương trình (2), ta có \(y = 2x + 4\).
b) Thay \(y = 2x + 4\) vào phương trình (1), ta được \(0x = 0\).
c) Phương trình \(0x = 0\) vô nghiệm.
d) Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là \(\left( {2y + 4;\,\,y} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế như sau:
• Từ phương trình (2), ta có \(y = 2x + 4\).
• Thay \(y = 2x + 4\) vào phương trình (1), ta được:
\(6x - 3\left( {2x + 4} \right) = - 12\) hay \(0x = 0\).
• Phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
• Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là \(\left( {x;\,\,2x + 4} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Câu 3
A. \[y = 2x.\]
B. \[y = - 2x.\]
C. \[y = 2x + 1.\]
D. \[y = - 2x + 1.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(m\) lớn hơn âm 8.
B. \(m\) không nhỏ hơn âm 8.
C. \(m\) nhỏ hơn âm 8.
D. \(m\) không lớn hơn âm 8.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. 14.
B. \[14,6.\]
C. \[14,5.\]
D. \[14,9.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\left( {x;\,\, - 3x - 6} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
B. \(\left( { - 3y + 6;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.
C. \[\left( {x;\,\, - 3x + 6} \right)\] với \[x \in \mathbb{R}\] tùy ý.
D. \(\left( { - 3y - 6;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo