Hai người đi xe đạp cùng một lúc và ngược chiều nhau từ hai địa điểm A và B. Người xuất phát từ A đi với vận tốc không đổi \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\). Người xuất phát từ B đi với vận tốc không đổi \(y{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\). Hai người gặp nhau tại C sau 4 giờ. Tính quãng đường AB tại \(x = 10;y = 8\) (Đơn vị: km).

Một sân bóng hình chữ nhật có chiều dài \(15x + 5y{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) và chiều rộng là \(10x - 5y{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\). Mỗi cạnh chừa lại \({\rm{3 m}}\) làm lối đi. Phần trong là sân trồng cỏ phục vụ cho các trận đấu.

a) Chiều dài của mặt sân trồng cỏ là \(10x - 5y - 6{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)

b) Chiều rộng của mặt sân trồng cỏ là \(10x + 5y - 6{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)

c) Biểu thức biểu diễn diện tích của mặt sân trồng cỏ là \(S = 100{x^2} - 25{y^2} - 120x + 36{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

d) Diện tích của mặt sân trồng cỏ khi \(x = 9{\rm{ m}},\,\,y = 3{\rm{ m}}\) có giá trị lớn hơn \(6800{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Cho hai đa thức:

\(A = 2xy\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right)\) và \[B = \left( {12{x^4}{y^5} - 36{x^5}{y^4} + 6{x^3}{y^3}} \right):6{x^2}{y^2}.\]

Đa thức \(M\) thỏa mãn \(A = M + B.\)

a) Bậc của đa thức \[A\] là 8.

b) Hệ số tự do của đa thức \(B\) là 2.

c) Giá trị của biểu thức \(B\) tại \[x = - 1\,;\,\,y = 1\] là 12.

d) \(M\) là một đơn thức.

Cho \(A = {a^3} - {b^3} + 5ab + 5{a^2} + 5{b^2}.\)

a) \(A = \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {a - b + 5} \right).\)

b) Nếu \(a - b = - 5\) thì giá trị biểu thức \(A\) bằng \(0.\)

c) Nếu \(a - b = 10\) thì \(A\cancel{ \vdots }5.\)

d) Nếu \({a^2} + {b^2} = - ab\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \(1.\)

Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {3 - m} \right)x - m + 5\) với \(m\) là tham số.

a) Với \(m \ne 1\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {d'} \right):y = 2mx + 8.\)

b) Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;5} \right)\) khi \(m = 3.\)

c) Với \(m = 5\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 1.\)

d) Để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = - x + 9\) tại điểm có tung độ là \(5\) thì \(m = \frac{{12}}{5}.\)

Cho tam giác nhọn \[ABC\] có \[AB < BC.\] Từ trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(N.\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = MN.\) Kẻ đường cao \[AH\left( {H \in BC} \right)\] của tam giác \[ABC\].

a) Tứ giác \(BMND\)là hình bình hành.                  

b) Tam giác \(AMH\) cân tại \(A\).

c) \(\widehat {AMN} = \frac{2}{3}\widehat {HMN}.\)    

d) Tứ giác \(DHMN\) là hình thang cân.