Năm 1947, Willard Frank Libby đã tìm ra phương pháp xác định niên đại của các cổ vật dựa vào đặc tính của đồng vị phóng xạ ${}^{14}\mathrm{C}$. Sau khi kiểm tra một mẫu xương cổ chứa ${}^{14}\mathrm{C}$ với hoạt độ ban đầu là $1500\,\mathrm{Bq}$, người ta biết được hoạt độ ${}^{14}\mathrm{C}$ còn lại trong mẫu xương cổ là $500\,\mathrm{Bq}$. Biết đồng vị ${}^{14}\mathrm{C}$ có chu kì bán rã là $T=5730$ năm. Tuổi thọ của mẫu xương cổ trên là bao nhiêu năm? (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Một ống nghiệm tiết diện đều có chiều dài $80\,\text{cm}$, đặt thẳng đứng chứa một khối khí lí tưởng đến nửa ống, phía trên của ống là một cột thủy ngân. Nhiệt độ lúc đầu của khối khí là $27^\circ\text{C}$. Áp suất khí quyển là $760\,\mathrm{mmHg}$.

a) Áp suất của khối khí lí tưởng trong ống nghiệm ban đầu bằng $800\,\mathrm{mmHg}$.

b) Nếu đặt ống nằm ngang thì cột thủy ngân còn lại trong ống dài $23{,}2\,\text{cm}$ (coi nhiệt độ của khối khí trên không thay đổi).

c) Nếu đặt ống thẳng đứng, hơ nóng khối khí trong ống tới $37^\circ\text{C}$ thì chiều cao của cột không khí trong ống bằng $37{,}9\,\text{cm}$.

d) Lúc này, tiếp tục làm lạnh khối khí trong ống đến $23^\circ\text{C}$ thì cột thủy ngân trong ống di chuyển một đoạn bằng $3{,}47\,\text{cm}$.

Trong y học, người ta có thể điều trị bệnh ung thư tuyến giáp bằng iodine phóng xạ. Iodine phóng xạ có thể tiêu diệt các tế bào tạo nên tuyến giáp và ung thư tuyến giáp. Một bệnh nhân đang được điều trị bằng ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ — một chất phóng xạ có chu kì bán rã là $T = 8$ ngày. Khi ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ phân rã, nó phát ra bức xạ $\beta$ và chuyển thành khí \textit{xenon} (Xe). Biết khối lượng mol của ${}^{131}\mathrm{I}$ là $M = 131\,\mathrm{g/mol}$.

a) Hằng số phóng xạ của ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ là $\lambda = 1{,}10^{-6}\,\mathrm{s^{-1}}$.
b) Khi một hạt nhân ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ phóng xạ $\beta^-$, sản phẩm phân rã là một hạt nhân có $54$ proton và $54$ neutron.
c) Một bệnh nhân được điều trị bằng ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ với liều $7{,}4\cdot 10^{9}\,\mathrm{Bq}$. Sau $12$ ngày, lượng ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ còn lại trong cơ thể bệnh nhân là $2{,}62\cdot 10^{9}\,\mathrm{Bq}$.
d) Khối lượng ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ với liều $7{,}4\cdot 10^{9}\,\mathrm{Bq}$ là $2{,}52\cdot 10^{-6}\,\mathrm{g}$.